整數論題目，3^n/2^100，n為自然數，求小數點後第100、101位數

題目：

設 \(n\) 是自然數，求 \(\displaystyle \frac{3^n}{2^{100}}\) 小數點後第 \(100\) 位數以及第 \(101\) 位數的值.

解答：

要求 \(\displaystyle \frac{3^n}{2^{100}}\) 小數點後第 \(100\) 位數的值，

也就是要求 \(\displaystyle \frac{3^n}{2^{100}}\) 小數點往右移動 \(100\) 次之後，小數點左邊第一位的數字值，

也就是要求 \(\displaystyle \frac{3^n}{2^{100}}\times 10^{100}\) 的小數點左邊第一位的數字值，

而 \(\displaystyle \frac{3^n}{2^{100}}\times 10^{100}= 3^n\times 5^{100}\)，

因為 \(\displaystyle 5^{100}\) 除以十的餘數是 \(5\)，且 \(\displaystyle 3^n\) 除以十的餘數只會是 \(3, 9, 7, 1\)（反正就是奇數啦，不會是偶數啦），

所以 \(\displaystyle 3^n\times5^{100}\) 除以十的餘數是 \(5\)，

故，所求小數點後第 \(100\) 位數為 \(5\)，

而且可以看得出來，因為 \(\displaystyle 3^n\times 5^{100}\) 是整數，

所以，所求小數點後第 \(101\) 位顯然是 \(0\)。