麵包店中對一特定麵包的需求量如下：

需求量	0	100	200	300	400
機率	0.15	0.25	0.3	0.15	0.15

製做這麵包的成本是每個4元，售價是每個20元，但沒售出時，隔天就要丟棄，到底要生產100個，200個，300個或400個才能得到最大獲利且獲利為何？
Ans：生產300個，有最大獲利2300元
煩請高手解答

生產一百個、兩百個、三百個、四百個的獲利分別如下，

\(\displaystyle 100\times 20\times \left(0.25 + 0.3 + 0.15 + 0.15\right) - 100\times 4 =1300.\)

\(\displaystyle 100\times 20\times 0.25 + 200\times 20\times \left(0.3 + 0.15 + 0.15\right) - 200\times 4=2100.\)

\(\displaystyle 100\times 20\times 0.25 + 200\times 20\times 0.3 + 300\times 20\times \left(0.15 + 0.15\right) - 300\times 4=2300.\)

\(\displaystyle 100\times 20\times 0.25 + 200\times 20\times 0.3 + 300\times 20\times 0.15 + 400\times 20\times 0.15 - 400\times 4=2200.\)


所以當生產三百個時，會有最大獲利 \(2300\) 元.

能否再詳細解釋是如何列式
謝謝

以生產兩百個為例，

有 \(0.15\) 的機率會賣出 \(0\) 個（收入 \(0\) 元），

有 \(0.25\) 的機率會只賣出 \(100\) 個（收入 \(100\times20\) 元），

有 \(0.3+0.15+0.15\) 的機率會賣光全部生產的 \(200\) 個（收入 \(200\times20\) 元），

再扣掉生產這兩百個所需要的成本 \(200\times4\) 元，

就是當生產兩百個產品時，獲利利潤的期望值。

\(\displaystyle 0\times20\times0.15+100\times 20\times 0.25 + 200\times 20\times \left(0.3 + 0.15 + 0.15\right) - 200\times 4=2100.\)