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極值一題

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極值一題

方程式x^3-3x^2+3kx-3=0有極值,且極大值與極小值的差為32
求k值  (-3)

我是用微分求,後來用猜的,答案是一樣,在此請教板上高手
謝謝

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應該是多項式函數而不是方程式吧
還是用微分
\(  f(x)=x^3-3x^2+3kx-3 \)
\( f'(x)=3x^2-6x+3k=3(x^2-2x+k) \)

\(  f'(x)=0 \)的兩根為\(  x_1,x_2 \)
由題意
\(  \| f(x_1)-f(x_2) \|=32 \)

\(  x_1^2-2x_1+k=0 \)
\(  f(x_1)=x_1^3-3x_1^2+3kx_1-3=2kx_1-2x_1+k-3 \)
\(  f(x_2)=x_2^3-3x_2^2+3kx_2-3=2kx_2-2x_2+k-3 \)
代入得
\(  \| 2(k-1)(x_1-x_2) \|=32 \)

\(  (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4-4k \)
兩邊平方得
\(  4(k-1)^2 \times 4(1-k)=1024 \)
\(  (1-k)^3=64 \)
\(  k=-3 \)

[ 本帖最後由 老王 於 2009-9-6 11:18 AM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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謝謝王老師
在解題過程中,不知要用微分=0的條件
硬作,變的好複雜
謝謝您的指引
arend

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