若方陣A、B、A+B皆可逆，試證A-1+ B-1可逆
且（A-1+ B-1）-1=A（A+B）-1B=B（A+B）-1A
請高手解答

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原帖由 f19791130 於 2009-8-17 05:09 PM 發表
若方陣 A、B、A+B 皆可逆，試證 A−1+B−1 可逆
且（A−1+B−1）−1=A（A+B）−1B=B（A+B）−1A
請高手解答

設 A、B、A+B 皆可逆的 n 階方陣，

則 A−1、B−1、（A+B）−1 皆存在且為 n 階方陣，

A−1+B−1 亦存在，且為 n 階方陣。

1. 　先證明 A（A+B）−1B 是 A−1+B−1 乘法反矩陣，

從右邊乘，

　　A−1+B−1A（A+B）−1B=A−1A+B−1A（A+B）−1B 

　　=I+B−1A（A+B）−1B=B−1B+B−1A（A+B）−1B 

　　=B−1（B+A）（A+B）−1B=B−1（A+B）（A+B）−1B

　　=B−1IB=B−1B=I

從左邊乘，

　　A（A+B）−1BA−1+B−1=A（A+B）−1BA−1+BB−1 

　　=A（A+B）−1BA−1+I=A（A+B）−1BA−1+AA−1 

　　=A（A+B）−1B+AA−1=A（A+B）−1A+BA−1 

　　=AIA−1=AA−1=I

　　所以，A（A+B）−1B 是 A−1+B−1 乘法反矩陣。

2. 　因為 A+B=B+A 且 A−1+B−1=B−1+A−1，

　　利用剛剛證出來的結果，將 AB 互換，

　　即可得 B（B+A）−1A 為 B−1+A−1 的乘法反矩陣，

　　再利用矩陣加法的可交換性，

　　得，B（A+B）−1A 為 A−1+B−1 的乘法反矩陣。