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請教一題矩陣問題

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請教一題矩陣問題

若方陣A、B、A+B皆可逆,試證A-1+ B-1可逆
且(A-1+ B-1)-1=A(A+B)-1B=B(A+B)-1A
請高手解答

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引用:
原帖由 f19791130 於 2009-8-17 05:09 PM 發表
若方陣 \(A、B、A+B\) 皆可逆,試證 \(A^{-1}+ B^{-1}\) 可逆
且\((A^{-1}+ B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A\)
請高手解答
設 \(A、B、A+B\) 皆可逆的 \(n\) 階方陣,

則 \(A^{-1}、B^{-1}、(A+B)^{-1}\) 皆存在且為 \(n\) 階方陣,

\(\Rightarrow A^{-1}+B^{-1}\) 亦存在,且為 \(n\) 階方陣。

1.  先證明 \(A(A+B)^{-1}B\) 是 \(A^{-1}+ B^{-1}\) 乘法反矩陣,

從右邊乘,

  \(\left(A^{-1}+B^{-1}\right)\cdot A(A+B)^{-1}B=\left(A^{-1}A+B^{-1}A\right) (A+B)^{-1}B\)

  \(=\left(I+B^{-1}A\right) (A+B)^{-1}B=\left(B^{-1}B+B^{-1}A\right) (A+B)^{-1}B\)

  \(=B^{-1}(B+A) (A+B)^{-1}B=B^{-1}(A+B)(A+B)^{-1}B\)

  \(=B^{-1}IB=B^{-1}B=I\)

從左邊乘,

  \(A(A+B)^{-1}B\cdot\left(A^{-1}+B^{-1}\right) =A(A+B)^{-1}\left(BA^{-1}+BB^{-1}\right) \)

  \(=A(A+B)^{-1}\left(BA^{-1}+I\right)=A(A+B)^{-1}\left(BA^{-1}+AA^{-1}\right)\)

  \(=A(A+B)^{-1}\left(B+A\right)A^{-1}=A(A+B)^{-1}\left(A+B\right)A^{-1}\)

  \(=AIA^{-1}=AA^{-1}=I\)

  所以,\(A(A+B)^{-1}B\) 是 \(A^{-1}+ B^{-1}\) 乘法反矩陣。

2.  因為 \(A+B=B+A\) 且 \(A^{-1}+B^{-1}=B^{-1}+A^{-1}\),

  利用剛剛證出來的結果,將 \(A,B\) 互換,

  即可得 \(B(B+A)^{-1}A\) 為 \(B^{-1}+ A^{-1}\) 的乘法反矩陣,

  再利用矩陣加法的可交換性,

  得,\(B(A+B)^{-1}A\) 為 \(A^{-1}+B^{-1}\) 的乘法反矩陣。

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