設\( \{; a_n \};_{n \ge 1} \)為一數列，\( a_1=1 \)，\( a_2=4 \)且\( a_{n+1}=3a_n+a_{n-1} \)，\( n \ge 2 \)。
證明：有無限多個正整數n，使得\( a_n-1 \)和\( a_{n+1}-1 \)都能被89整除。
[sol]
可算出\( \displaystyle a_n=\frac{\sqrt{13}-1}{2 \sqrt{13}}(\frac{3+\sqrt{13}}{2})^n+\frac{\sqrt{13}+1}{2 \sqrt{13}}(\frac{3-\sqrt{13}}{2})^n \)
但這樣有什麼用嗎？

如果有的話，將數列MOD89
此時\( a_n=1,a_{n+1}=1 \)
那麼\( a_{n+2}=4 \)
於是\( a_{n+1},a_{n+2} \)就會和\( a_1,a_2 \)一樣
也就是此數列n個一循環
用EXCEL算了一下
循環節是180個
應該有比較簡單的看法

補上文字題目,方便以後搜尋
設\( {\ a_{n} }\ _{n \ge 1} \)為一數列，\( a_{1}=1 \)，\( a_{2}=4 \)且\( a_{n+1}=3a_{n}+a_{n-1} \)，\( n \ge 2 \)。
證明：有無限多個正整數n，使得\( a_{n}-1 \)和\( a_{n+1}-1 \)都能被89整除。
(89全國高中數學競賽台灣省第四區筆試一試題)

我覺得寫得還沒有很好，有人要修一修的嗎？

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2012-4-5 11:15