1.一個正三角形ABC邊長為5, 三角型內一點P, PA=4 , PC=3, 求cosACP

2.三角形ABC, 角C=90度, 過A的中線在直線x-y+3=0上, 過B的中線在直線2x-y+4=0上
  若AB=60, 求三角形ABC的面積

謝謝

第2題，去年97高中數學競賽台南區筆試一第1題

假設重心為G，以及\( \displaystyle \angle{AGB}=\theta \)
顯然\( \displaystyle \theta > 90^o \)
也就是兩線所夾鈍角
\( \displaystyle cos\theta=-\frac{(1,-1)\cdot(2,-1)}{\sqrt2 \times \sqrt5} \)
\( \displaystyle =-\frac{3}{\sqrt{10}} \)
再令AB中點為M
由AB=60可得AM=30，MG=10
由中線定裡
\( \displaystyle GA^2+GB^2=2(AM^2+MG^2)=2000 \)
由餘弦定理
\( \displaystyle AB^2=GA^2+GB^2-2GA*GB*cos\theta \)
\( \displaystyle GA*GB=\frac{800\sqrt{10}}{3} \)
\( \displaystyle (GAB)=\frac{1}{2} \times GA*GB \times sin\theta=\frac{400}{3} \)
\( \displaystyle (ABC)=3(GAB)=400 \)

謝謝王老師

這技巧真的沒想到
有一點不懂, 為何MG=10
請指點迷津
謝謝

直角三角形斜邊中點到三頂點等距離
重心到任一邊中點距離等於該邊中線的三分之一

另外
你的第一題可能有筆誤

謝謝王老師
懂了
另外第一題是求cosABP才對
不好意思,筆誤

引用:

原帖由 arend 於 2009-7-24 12:20 PM 發表
1.一個正三角形ABC邊長為5, 三角型內一點P, PA=4 , PC=3, 求cosABP

設 \(\displaystyle A(0,0), C(5,0), B(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2})\)，則

依題意，因為 \(\overline{AP}^2+\overline{CP}^2=\overline{AC}^2\)，所以 \(\displaystyle \angle APC=90^\circ \Rightarrow \cos \angle PAC=\frac{4}{5}, \sin \angle PAC=\frac{3}{5}.\)

因此 \(P\) 點坐標為 \(\displaystyle (\frac{16}{5},\frac{12}{5})\)，可得 \(\displaystyle \overline{BP}^2 = \left(\frac{5}{2} - \frac{16}{5}\right)^2+\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}-\frac{12}{5}\right)^2=25-12\sqrt{3}.\)

在 \(\triangle ABP\) 中，由餘弦定理可得

\(\displaystyle \cos \angle ABP = \frac{\overline{AB}^2 + \overline{BP}^2 - \overline{AP}^2}{2\cdot \overline{AB}\cdot \overline{BP}}=\frac{25 + \left(25-12\sqrt{3}\right)-16}{2\cdot 5\cdot \sqrt{25-12\sqrt{3}}}=\frac{17-6\sqrt{3}}{5\sqrt{25-12\sqrt{3}}}.\)

謝謝瑋岳老師
沒想到用座標法會如此簡單
我嚐試用面積去解
~~正三角形內一點到三點距離長求面積
超級複雜 哈哈

提供第二題另一種解法
設\(\bar{AC}=a, \bar{BC}=b\)且角\(\alpha, \beta, \theta \)如圖所示
二直線斜率\(m_1=2, m_2=1 \), 二直線所夾銳角\(\theta=\alpha-\beta \)
且\(\tan\theta=\frac{a}{b/2}=\frac{2a}{b}, \tan\beta=\frac{a/2}{b}=\frac{a}{2b}\)
\( \displaystyle \tan\theta=\tan(\alpha-\beta)\)
\( \displaystyle \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}=\frac{\tan\alpha -\tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}\)
\( \displaystyle \frac{2-1}{1+1\cdot 2}=\frac{\frac{2a}{b}-\frac{a}{2b}}{1+\frac{2a}{b}\cdot \frac{a}{2b}}\)
\( \displaystyle ab=\frac{2(a^2+b^2)}{9}\)
又\(\bar{AB}=60 \)即\(a^2+b^2=3600 \)，則\( ab=800\)
故三角形\(ABC\)面積為\(\frac{1}{2}ab=400 \)

謝謝scale老師的另解