1.一個正三角形ABC邊長為5, 三角型內一點P, PA=4 , PC=3, 求cosACP

2.三角形ABC, 角C=90度, 過A的中線在直線x-y+3=0上, 過B的中線在直線2x-y+4=0上
  若AB=60, 求三角形ABC的面積

謝謝

第2題，去年97高中數學競賽台南區筆試一第1題

假設重心為G，以及AGB= 
顯然90o
也就是兩線所夾鈍角
cos=−25(1−1)(2−1)
=−310
再令AB中點為M
由AB=60可得AM=30，MG=10
由中線定裡
GA2+GB2=2(AM2+MG2)=2000
由餘弦定理
AB2=GA2+GB2−2GAGBcos
GAGB=380010 
(GAB)=21GAGBsin=3400
(ABC)=3(GAB)=400

謝謝王老師

這技巧真的沒想到
有一點不懂, 為何MG=10
請指點迷津
謝謝

直角三角形斜邊中點到三頂點等距離
重心到任一邊中點距離等於該邊中線的三分之一

另外
你的第一題可能有筆誤

謝謝王老師
懂了
另外第一題是求cosABP才對
不好意思,筆誤

引用:

原帖由 arend 於 2009-7-24 12:20 PM 發表
1.一個正三角形ABC邊長為5, 三角型內一點P, PA=4 , PC=3, 求cosABP

設 A(00)C(50)B(25253) ，則

依題意，因為 AP2+CP2=AC2，所以 APC=90cosPAC=54sinPAC=53

因此 P 點坐標為 (516512)，可得 BP2=25−5162+253−5122=25−123 

在 ABP 中，由餘弦定理可得

cosABP=2ABBPAB2+BP2−AP2=2525−12325+25−123−16=17−63525−123

謝謝瑋岳老師
沒想到用座標法會如此簡單
我嚐試用面積去解
~~正三角形內一點到三點距離長求面積
超級複雜 哈哈

提供第二題另一種解法
設AC=aBC=b且角如圖所示
二直線斜率m1=2m2=1, 二直線所夾銳角=−
且tan=ab2=b2atan=ba2=a2b
tan=tan(−)
m1−m21+m1m2=tan−tan1+tantan
2−11+12=b2a−a2b1+b2aa2b
ab=92(a2+b2)
又AB=60即a2+b2=3600，則ab=800
故三角形ABC面積為21ab=400

謝謝scale老師的另解