98臺南縣永仁高中

4.
若\( \omega \)為1的立方虛根之一，則\( (1-\omega+\omega^2)(1-\omega^2+\omega^4)(1-\omega^4+\omega^8)(1-\omega^8+\omega^16)= \)？
(A)8　(B)10　(C)12　(D)14　(E)16
[解答]
\( (1-\omega+\omega^2)(1-\omega^2+\omega)(1-\omega+\omega^2)(1-\omega^2+\omega) \)
\( = [\ (1-\omega+\omega^2)(1-\omega^2+\omega) ]\ ^2= [\ (-2 \omega)(-2 \omega ^2)]\ ^2=16 \)

16.
在等比數列\( \langle a_{n} \rangle \)中，\( a_{1}=1 \)，\( a_{4}=2-\sqrt{5} \)，\( a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n} \)，\( n \ge 1 \)。則\( \langle a_{n} \rangle \)的公比=？(A)\( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \)　(B)\( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \)　(C)\( \frac{1-\sqrt{3}}{2} \)　(D)\( \frac{1+\sqrt{3}}{2} \)　(E)\( \frac{2}{3} \)
[提示]
\( \displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=1+\frac{a_n}{a_{n+1}} \)，\( \displaystyle r=1+\frac{1}{r} \)
取負的r

40.
如右圖，三個兩兩外切的圓，也都與直線相切，最大圓半徑為144，中圓的半徑為36，求最小圓的半徑為何？(A)4　(B)12　(C)16　(D)18。
[提示]
\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{r}}=\frac{1}{\sqrt{144}}+\frac{1}{\sqrt{36}} \)

2009.10.14補充
Two circles with radii a and b respectively touch each other externally. Let c be the radius of a circle that touches these two circles as well as a common tangent to the two circles. Prove that \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}} \)
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=1597647

109.6.6補充
三個兩兩外切的圓，也都與直線相切，最大圓半徑為100，中圓的半徑為25，求最小圓的半徑為何？(A)\(\displaystyle \frac{100}{9}\)　(B)\(\displaystyle \frac{10}{3}\)　(C)\(\displaystyle \frac{36}{5}\)　(D)\(\displaystyle \frac{18}{5}\)
(109全國高中職聯招，https://math.pro/db/thread-3342-1-1.html)

44.
設z，c皆為複數，|z|=1，\( \overline{c} z≠1  \)，z≠c，則\( \displaystyle \Bigg\vert\ \frac{z-c}{1-\overline{c} z} \Bigg\vert\ \)之值為？
(A)0　(B)1　(C)∞　(D)|c|　(E)以上皆非
[解答]
|z|=1，\( z \cdot \overline{z}=1 \)
\( \displaystyle \frac{z-c}{1-\overline{c} z} \cdot \frac{\overline{z}-\overline{c}}{1-c \overline{z}}=\frac{z \cdot \overline{z}-z \cdot \overline{c}-c \cdot \overline{z}+c \cdot \overline{c}}{1-c \cdot \overline{z}-\overline{c} \cdot z+c \cdot \overline{c} \cdot z \cdot \overline{z}}=1 \)

50.
設a,b,c均為整數，1≦a,b,c≦9，已知a,b,c成等差數列，且\( 0. \overline{a}+0. \overline{4b}=1.  \overline{2c} \)，則序組(a,b,c)=
(A)(7,5,3)　(B)(7,6,5)　(C)(8,6,4)　(D)(8,7,6)　(E)(6,7,8)
[解答]
\( \displaystyle \frac{a}{9}+\frac{40+b}{99}=1+\frac{20+c}{99} \)
用c=2b-a來換得\( 12a-b=79 \)只有a=7符合

我想請問第42和46題,謝謝

第 42 題：

題目：P 為銳角 △ABC 的外心，令 x、y、z 表 P 至三邊 BC、CA、AB 的垂線長﹐求 x : y : z

(A) sin A: sin B : sinC (B) cos A: cos B : cosC (C) tan A: tan B : tanC (D) cot A: cot B : cotC

(E) sec A: sec B : secC﹒

解答：

設 \(R\) 為 \(\triangle ABC\) 的外接圓半徑，則

\(\displaystyle \triangle PBC=\frac{1}{2}xa=\frac{1}{2}R^2\sin 2A\)

\(\displaystyle \triangle PAC=\frac{1}{2}yb=\frac{1}{2}R^2\sin 2B\)

\(\displaystyle \triangle PAB=\frac{1}{2}zc=\frac{1}{2}R^2\sin 2C\)

故，\(\displaystyle x:y:z=\frac{\sin2A}{a}:\frac{\sin2B}{b}:\frac{\sin2C}{c}=\cos A:\cos B: \cos C.\)








第 46 題：

題目：設 a 為異於 1 的正整數，以 a 除 4510﹐3718﹐2970 之餘數相同，則 a 有幾個解？

(A)1 (B)3 (C)5 (D)7 (E)9﹒

解答：

\(4510=aq_1+r, 3718=aq_2+r, 2970=aq_3+r\)，

兩兩相減，可得 \(a\Big|gcd\left(4510-3718,3718-2970\right)\Rightarrow a\Big|44\)

由於 \(44=2^2\times11\) 的正因數個數有 \(3\times2=6\) 個，

扣掉 \(a=1\) 的情況，\(a\) 還剩下 \(5\) 種可能。