\( \displaystyle \sqrt2 \)的有理逼近

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假設非負有理數\( \displaystyle r \)是\( \displaystyle \sqrt2 \)的一個逼近，證明
\( \displaystyle \frac{r+2}{r+1} \)總是一個更好的有理逼近。

PF
\( \displaystyle \mid \frac{r+2}{r+1}-\sqrt2 \mid \)
\( \displaystyle =\mid \frac{(1-\sqrt2)r+(2-\sqrt2)}{r+1} \mid \)
\( \displaystyle =\mid \frac{\sqrt2-1}{r+1} \mid \times \mid r-\sqrt2 \mid \)
\( \displaystyle \leq \mid r-\sqrt2 \mid \)
故得證

習題
將\( \displaystyle \sqrt2 \)改為
(1)\( \displaystyle \sqrt3 \)
(2)或是\( \displaystyle \sqrt[3]{2} \)
找出比\( r \)更好的有理逼近型式