算數函數，求最大值.

題目：

設 \(D=\left\{n\in N, n\neq 3\right\}\)，函數 \(f: D\rightarrow R\)，定義為 \(\displaystyle f(n)=\frac{5n^2-6n-15}{n^2-2n-3}\)，

若已知 \(f(n_0)\geq f(n),\;\forall n\in D\)，則 \(n_0=?\)






解答：

\(\displaystyle f(n)=\frac{5n^2-6n-15}{n^2-2n-3}=5+3\cdot\frac{1}{n-3}+\frac{1}{n+1}\)

對任意 \(m>n>3\)，

　　恆有 \(\displaystyle m-3>n-3>0\Rightarrow \frac{1}{m-3}<\frac{1}{n-3}\)，

　　且 \(\displaystyle m+1>n+1>0\Rightarrow \frac{1}{m+1}<\frac{1}{n+1}\)，

　　可得，\(f(m)<f(n)\)，

因此，比較 \(\displaystyle f(1)=4,\;f(2)=\frac{7}{3},\;f(4)=\frac{41}{5}\)，即可得此函數 \(f(n)\) 在 \(n=4\) 之時，有最大值。

亦即，依題意之 \(n_0=4.\)