設 a=(111)，b=(02−1)，c=(4−41)，rsR，求ra+sb+c的最小值？

[ 本帖最後由 Isaac 於 2009-7-3 01:24 AM 編輯 ]

ra+sb+c2=r2a2+s2b2+c2+2rsab+2rac+2sbc

=3r2+5s2+33+2rs+2r−18s

=3r2+2(s+1)r+5s2−18s+33

=3(r+3s+1)2+5s2−18s+33−3s2+2s+1

=3(r+3s+1)2+314(s2−4s+7)

=3(r+3s+1)2+314(s−2)2+1414

且當 ``= 成立時， r+3s+1=s−2=0，

亦即，當 s=2r=−1 時，ra+sb+c 有最小值 14 

ra+sb表示由a和b所展生的平面
而ra+sb+c就是過(4−41)且和上述平面平行的平面
所求就是原點到後來的平面的距離最小值
故
(111)(02−1)=(−312)
平面為−3x+y+2z=−14
最短距離  149+1+4=14

[ 本帖最後由 老王 於 2009-7-2 09:00 PM 編輯 ]

感謝瑋岳老師、老王老師的解法，受用無窮。