設 \( \vec{a}=(1,1,1)，\vec{b}=(0,2,-1)，\vec{c}=(4,-4,1)，r,s\in R\)，求\(|r\vec{a}+s\vec{b}+\vec{c}|\)的最小值？

[ 本帖最後由 Isaac 於 2009-7-3 01:24 AM 編輯 ]

\(\displaystyle \left|r \vec{a}+s \vec{b}+ \vec{c}\right|^2 = r^2 \left|\vec{a}\right|^2+ s^2 \left|\vec{b}\right|^2 + \left|\vec{c}\right|^2 + 2rs\, \vec{a}\cdot \vec{b} + 2r\, \vec{a}\cdot \vec{c} + 2s\, \vec{b} \cdot \vec{c}\)

\(\displaystyle\qquad\qquad\qquad = 3 r^2 + 5 s^2 + 33 + 2rs +2r -18 s\)

\(\displaystyle\qquad\qquad\qquad = 3 r^2 + 2(s + 1)r + 5s^2-18s+33\)

\(\displaystyle\qquad\qquad\qquad =3(r+\frac{s+1}{3})^2 + 5s^2 - 18s+33 - \frac{s^2+2s+1}{3}\)

\(\displaystyle\qquad\qquad\qquad =3(r+\frac{s+1}{3})^2 + \frac{14}{3}( s^2 -4s + 7 )\)

\(\displaystyle\qquad\qquad\qquad =3(r+\frac{s+1}{3})^2 + \frac{14}{3}(s-2)^2 + 14\geq 14\)

且當 \(``=''\) 成立時， \(\displaystyle r+\frac{s+1}{3} = s-2=0\)，

亦即，當 \(s=2,\; r=-1\) 時，\(\displaystyle \left|r \vec{a}+s \vec{b}+ \vec{c}\right|\) 有最小值 \(\sqrt{14}.\)

\( \displaystyle r\vec{a}+s\vec{b} \)表示由\( \displaystyle \vec{a} \)和\( \displaystyle \vec{b} \)所展生的平面
而\( \displaystyle r\vec{a}+s\vec{b}+\vec{c} \)就是過\( (4,-4,1) \)且和上述平面平行的平面
所求就是原點到後來的平面的距離最小值
故
\( \displaystyle (1,1,1) \times (0,2,-1)=(-3,1,2) \)
平面為\( \displaystyle -3x+y+2z=-14 \)
最短距離\( \displaystyle  \frac{14}{\sqrt{9+1+4}}=\sqrt{14} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2009-7-2 09:00 PM 編輯 ]

感謝瑋岳老師、老王老師的解法，受用無窮。