美夢成真論壇討論文章
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=10&t=1410
1.
一長廊有30盞燈排成一列，依序編號為1，2，3，...，30，開始全部是關的，今有30人依次通過。第一人通過時，將全部的燈打開；第二人通過時，將燈號為2之倍數者關上；第三人通過時，將燈號為3之倍數者改變狀態(開者關上，關者打開)；...；第n人通過時，將燈號為n之倍數者改變狀態。今30通過後，共有多少盞燈最後是開的？(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
https://math.pro/db/thread-786-1-1.html
(96淡水商工，98和美實驗學校)
2009.10.5補充
有編號1到60的60個抽屜，及60個人，第1個人將所有抽屜關上，第2個人將2，4，6，8，...，60號抽屜打開，第3個人將3，6，9，12，...，60號抽屜原來關著打開，原來開著的關上，第k個人將k，2k，3k，...號抽屜中原來關著的打開，原來開著的關上，一直到第60個人為止，則
。
(1)第20號抽屜是關著的 (2)第25號抽屜是關著的 (3)第60號抽屜是關著的 (4)第53號抽屜是關著的
http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/ra/RA122.pdf
2009.10.10補充
設有n個珍珠寶盒，各編號1,2,…,n。令K號寶盒含有K個珍珠。另有n張紙牌，各編號1,2,…,n。首先將n個寶盒全部關閉，並隨意抽出一張紙牌，抽出後不再放回。若第一次抽中K號紙牌，則編號為K的倍數的寶盒打開，其餘保持不動。接著抽出L號紙牌時，編號為L的倍數的寶盒作相反動作(即原先打開的關閉，原先關閉的打開)，其餘保持不動；試問當n張紙牌全部抽完後，仍然打開的寶盒有幾個？且其珍珠總數為何？
(90學年度高中數學能力競賽 台中區複賽試題(一))
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514
2009.10.18補充
一監獄的牢房剛好排成一列，牢房編號由1，2，3，...，n。另有n張編號為1，2，3，...，n的紙牌。首先將所有牢房的門都關著，並隨意抽出一張紙牌，抽後不再放回。若第一次抽中k號紙牌，則編號為k的倍數的牢房打開，其餘保持不動。接著抽中d號紙牌，則編號為d的倍數的牢房作相反動作(即原先打開的關閉，原先關閉的打開)，其餘保持不動。
試問：當n張紙牌完全抽完後，有幾間牢房是開著？
(94蘭陽女中)
2010.2.19補充
拿100個杯子分別標上1到100號，一開始全部杯口朝上，編號2的倍數的杯子翻轉一次使杯口朝下，再接著編號3的倍數的杯子又翻轉一次，使杯口朝向改變，依此規則下去直到編號100的倍數的杯子翻轉完，請問此時杯口朝上的杯子有幾個？(A)1 (B)6 (C)8 (D)10個。
(92台南縣國中聯招)
2010.6.19補充
一百盞燈分別標上號碼: 1,2,3,…100. 設每盞燈的設計皆是:若原來是關閉的狀態,拉第一下是大亮, 拉第二下是小亮, 拉第三下是關閉.現在這一百盞燈都是關閉的狀態,第一個人把每盞燈都拉一下, 第二個人把標號是2的倍數的燈都拉一下, 第三個人把標號是3的倍數的燈都拉一下,依此類推,直至第一百個人把標號是100的燈拉一下, 試問最後有哪幾盞燈是關閉的狀態？
(建中通訊解題第48期)
2012.1.10補充
一間木櫃有n個抽屜，分別標上1~n的號碼，並將其全部鎖上，現在依下列的操作方式改變其狀態：
（所謂改變抽屜的狀態，就是原來是開的變成鎖上，原來是鎖上的變成開的）
第1次將號碼被1整除的抽屜改變狀態。
第2次將號碼被2整除的抽屜改變狀態。
……….
第k次將號碼被k整除的抽屜改變狀態。
……….
請問經過n次操作後，哪些編號的抽屜是打開的？
(建中通訊解題第10期)
109.5.23補充
惡魔島上的監獄有2020間牢房關犯人，編號分別為1、2、3、4、…、2018、2019、2020．適臨總統就職，實施特赦，獄方決定以下列方式來釋放部分犯人：
•牢房開關按一次便打開，再按一次又關起來。
•現在，從第1間開始算，只要是1的倍數，全部按一次；
•然後，再從第2間開始，只要是2的倍數，再按一次。
•依此類推，第
k間開始，只要是
k 的倍數就再按一次。
•如此一直到2020 的倍數按完為止，仍開者便立即釋放。
請問最後被釋放的共有多少人？
(A) 40
(B) 42
(C) 44
(D) 46
(109臺北市國中聯招，
https://math.pro/db/thread-3333-1-1.html)
7.
現有長度為12的線段，首先取去它的
122，然後再從剩下部份的線段取去它的
132，又再從剩下部份的線段取去它的
142，...，如此順次從所剩線段取去它的
1n2，則剩下的線段長最後會趨近於多少？(A)3 (B)4 (C)6 (D)8
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=426
8.
若與拋物線
y=x2及直線
y=0均相切之圓的圓心為P點，則P點坐標不可能是(A)
(0
3) (B)
( 
23) (C)
( 53
63) (D)
( 45153)
[解答]
設圓方程式為
( x−t)2+( y−3)2=9，和
y=x2相切
用
y=x2代入化簡為
x4−5x2−2tx+t2=0
因為相切所以此方程式至少有兩相等實根，設此實根為p
則
f(p)=p4−5p2−2tp+t2=0，
f
(p)=4p3−10p−2t=0
解得
( pt) =( 00) ，( 2−2) ，( −22) ，( 2154515) ，( −215−4515)
設圓
x2+(y−a)2=1與拋物線
y=2x2相切，則a的值為。
(92學年度高中數學能力競賽 北區 第一區(花蓮高中))
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514
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本帖最後由 bugmens 於 2015-3-30 10:33 PM 編輯 ]
