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98高雄市聯招
tsusy
寸絲
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發表於 2011-10-15 15:32
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回復 4# Jacobi 的帖子
第七題:
AB
C
為邊長是1的正三角形,
P
為三角形內部任意一點,過
P
作
D
E
平行
B
C
,
FG
平行
A
B
,
H
I
平行
A
C
;在空間坐標系上,取
OQ
=
P
D
,
O
R
=
P
E
,
O
S
=
F
I
,求
QR
S
的周長最小值為何?
[解答]
令
P
D
=
x
,
P
E
=
y
,
F
I
=
z
,則
x
+
y
+
z
=
1
.
QR
S
周長
=
x
2
+
y
2
+
y
2
+
z
2
+
z
2
+
x
2
.
令
a
=
x
+
y
i
,
b
=
y
+
z
i
,
c
=
z
+
x
i
,則周長
=
a
+
b
+
c
.
由三等不等式得
=
a
+
b
+
c
a
+
b
+
c
=
2
.
等式成立為三向量平行,得
x
=
y
=
z
=
3
1
且 P 為重心。
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imatheq
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Pacers31
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發表於 2013-7-25 16:37
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回復 11# tsusy 的帖子
請教tsusy
題目說:連續堆疊的兩個立方體,上面那塊邊長超過下面那塊邊長2公分,會倒
所以題目的意思,能否允許上面邊長剛好比下面邊長多2公分?
題目後面有舉例說,從下到上2,1,3,4是OK的 (也就是3可以放在1的上面)
不過您的作法似乎是不允許3放在1的上面(相鄰且上面)? (可能我解讀有誤... 還請指教)
舉個例子,例如n=3就好,從下到上任意排應該就3!=6種,這6種應該都不會倒才對 (如此就不會是
2
n
−
1
種了)
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tsusy
寸絲
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發表於 2013-7-25 16:57
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回復 13# Pacers31 的帖子
感謝指正,您的解讀是對...是我先前解讀錯誤
解 2. 的逐次插入法,仍然可以使用,但要從最大的開始放。
理由:如果堆疊完不會倒,那麼 1 的上方至多為 3 (若無,可解釋為 0)
所以把 1 抽出,不會倒,也是說 n 個安全的情形,必可由 n-1 之安全情形經插入最小者得到。
而且 n-1 時,堆疊順序不同,再插入新的正立方體,堆疊序必不相同。
先放 n,有 1 種;
再放 n-1,乘 2;
再放 n-2,乘 3;
再放 n-3,乘 3 (最上面,n-1 的下方,及n-2 的下方)
....
最後放 1,乘 3;
故安全的方法有
2
3
n
−
2
,因此所求機率為
n
!
2
3
n
−
2
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imatheq
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Joy091
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發表於 2013-8-12 12:48
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回復 2# bugmens 的帖子
證明題
第一題
1
1999
2
1
4
3
6
5
1998
1997
1
44
(0.0005...<0.0178...<0.0227...)
在網路上看到更好的上下界為:
1
2
999
2
1
4
3
6
5
1998
1997
1
3
9
99
+
1
(0.0158...<0.0178...<0.0182...)
一般式:
1
2
n
2
1
4
3
6
5
2
n
2
n
−
1
1
3
n
+
1
(數學歸納法)
網址:
http://www.cut-the-knot.org/proofs/inequality.shtml
http://www.cut-the-knot.org/Generalization/inequality.shtml
P.S.
其中
2
1
4
3
6
5
1998
1997
的近似值 0.0178... 是由 R 軟體所算出
參考指令為:
x=1:999
for(k in 1:999) x[k]=(2*k-1)/(2*k)
z=1
for(k in 1:999) z=z*x[k]
z
[
本帖最後由 Joy091 於 2013-8-12 01:20 PM 編輯
]
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shingjay176
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發表於 2014-4-24 19:51
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1、將與
105
互質之所有正整數由小到大排成一數列,求此數列第
1000
項之值。
解答
105
=
3
5
7
,1至105的正整數中,和3互質,和5互質,和7互質的一共有48個。
105
1
−
3
1
1
−
5
1
1
−
7
1
=
4
8
把1至105的正整數,剩下的48個分類。
105
k
+
1
1
05
k
+
2
1
05
k
+
4
1
05
k
+
8
1
05
k
+
1
04
,共48類
k
=
0
1
2
3
4
5
6
1000
=
4
8
2
0
+
4
0
,代表數了20輪迴後,再40個,就是第1000項。
因此進入第21輪迴,此時
k
要帶入 20 計算。
105
2
0
=
2
100
, 104是第48類,往回退8類,就是
105
k
+
8
6
所以第1000項是2186
[
本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-24 08:48 PM 編輯
]
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mathca
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發表於 2016-1-1 21:24
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回復 11# tsusy 的帖子
請教第七題,
令 a=x+yi, b=y+zi, c=z+xi,則周長 =|a|+|b|+|c|
請問為什麼要這樣令?代表的意思是?
感謝。.
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tsusy
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發表於 2016-1-1 21:39
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回復 16# mathca 的帖子
7. 根號內平方和有距離的味道,所以想到要用三角不等式
要怎麼令沒有一定,也可以在坐標平面上取四點
A
(0
0
)
B
(
x
y
)
C
(
x
+
y
y
+
z
)
D
(
x
+
y
+
z
y
+
z
+
x
)
(
D
(1
1
)
)
則
A
B
+
B
C
+
C
D
A
D
=
2
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imatheq
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mathca
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發表於 2016-1-1 21:50
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回復 17# tsusy 的帖子
所以這邊令的A、B、C、D點是在圖(一)上?
這樣令,我又更看不懂了,D點跑出(1,1)...
想了一整夜,好像想通了(有點冗長,不過是思考過程),
四邊形ABCD中(不是放在圖一或圖二座標系統上)
原式左邊看成是:AB向量、BC向量、CD向量,三個向量長度相加,
但須滿足 |AB向量|=sqr(x^2+y^2)、 |BC向量|=sqr(y^2+z^2)、 |AB向量|=sqr(z^2+x^2).....故此才會說"座標"令的方法不唯一
四邊形ABCD中,|AB|+|BC|+|CD|>|DA| (要形成四邊形,從A點出發,走到B、走到C、走到D,距離必大於AD直線距離)
故可令其中一種參數路徑為(所以四點座標令法不唯一):向量AB=(x,y)、向量BC=(y,z)、向量CD=(z,x),
則:向量AD=向量AB+向量BC+向量CD=(x,y)+(y,z)+(z,x)=(x+y+z,y+z+x),
所以:|AB|+|BC|+|CD|>|AD|=|(x+y+z,y+z+x)|
即 sqr(x^2+y^2)+sqr(y^2+z^2)+sqr(z^2+x^2) > sqr[(x+y+z)^2+(y+z+x)^2 ] ,
且滿足題目條件x+y+z=1代入,得證。
[
本帖最後由 mathca 於 2016-1-2 08:37 AM 編輯
]
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tsusy
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發表於 2016-1-2 10:06
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回復 18# mathca 的帖子
沒開題目,沒注意到題目原本就有 A,B,C,D。
總之,我的 A,B,C,D 不是原本的 A,B,C,D,就當作 A',B',C',D' 吧
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imatheq
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satsuki931000
satsuki
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中
小
發表於 2021-1-21 16:54
只看該作者
第2題:
3
2
第6題:
0
=
3
6
−
2
6
,
M
=
27
2
3
想對一下這兩題的答案 謝謝
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