第七題：
\(\Delta ABC\)為邊長是1的正三角形，\(P\)為三角形內部任意一點，過\(P\)作\(\overline{DE}\)平行\(\overline{BC}\)，\(\overline{FG}\)平行\(\overline{AB}\)，\(\overline{HI}\)平行\(\overline{AC}\)；在空間坐標系上，取\(\overline{OQ}=\overline{PD}\)，\(\overline{OR}=\overline{PE}\)，\(\overline{OS}=\overline{FI}\)，求\(\Delta QRS\)的周長最小值為何？
[解答]
令 \( \overline{PD}=x \), \( \overline{PE}=y \), \( \overline{FI}=z\)，則 \( x+y+z=1 \).

\( \triangle QRS \) 周長 \(=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}} \).

令 \( a=x+yi \), \( b=y+zi \), \( c=z+xi \)，則周長 \(=|a|+|b|+|c| \).

由三等不等式得 \(=|a|+|b|+|c| \geq |a+b+c|=\sqrt{2} \).

等式成立為三向量平行，得 \( x=y=z=\frac{1}{3} \) 且 P 為重心。

請教tsusy

題目說：連續堆疊的兩個立方體，上面那塊邊長超過下面那塊邊長2公分，會倒

所以題目的意思，能否允許上面邊長剛好比下面邊長多2公分？

題目後面有舉例說，從下到上2,1,3,4是OK的 (也就是3可以放在1的上面)

不過您的作法似乎是不允許3放在1的上面(相鄰且上面)？ (可能我解讀有誤... 還請指教)

舉個例子，例如n=3就好，從下到上任意排應該就3!=6種，這6種應該都不會倒才對 (如此就不會是\(2^{n-1}\)種了)

感謝指正，您的解讀是對...是我先前解讀錯誤

解 2. 的逐次插入法，仍然可以使用，但要從最大的開始放。

理由：如果堆疊完不會倒，那麼 1 的上方至多為 3 (若無，可解釋為  0)

所以把 1 抽出，不會倒，也是說 n 個安全的情形，必可由 n-1 之安全情形經插入最小者得到。

而且 n-1 時，堆疊順序不同，再插入新的正立方體，堆疊序必不相同。

先放 n，有 1 種；
再放 n-1，乘 2；
再放 n-2，乘 3；
再放 n-3，乘 3 (最上面，n-1 的下方，及n-2 的下方)
....
最後放 1，乘 3；

故安全的方法有 \( 2\cdot 3^{n-2} \)，因此所求機率為  \( \frac{2\cdot 3^{n-2}}{n!} \)

證明題
第一題 \(\displaystyle \frac{1}{1999}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998}<\frac{1}{44} \)     (0.0005...<0.0178...<0.0227...)

在網路上看到更好的上下界為:
\(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{999}}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998}<\frac{1}{\sqrt{3\times999+1}} \)      (0.0158...<0.0178...<0.0182...)

一般式: \(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{n}}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{3n+1}} \)     (數學歸納法)

網址:
http://www.cut-the-knot.org/proofs/inequality.shtml
http://www.cut-the-knot.org/Generalization/inequality.shtml


P.S.
其中 \(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998} \) 的近似值 0.0178...  是由 R 軟體所算出

參考指令為:

x=1:999
for(k in 1:999)  x[k]=(2*k-1)/(2*k)
z=1
for(k in 1:999)  z=z*x[k]
z

[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-8-12 01:20 PM 編輯 ]

1、將與\(105\)互質之所有正整數由小到大排成一數列，求此數列第\(1000\)項之值。
解答
\(105 = 3 \times 5 \times 7\)，1至105的正整數中，和3互質，和5互質，和7互質的一共有48個。
\(105 \times \left( {1 - \frac{1}{3}} \right) \times \left( {1 - \frac{1}{5}} \right) \times \left( {1 - \frac{1}{7}} \right) = 48\)
把1至105的正整數，剩下的48個分類。
\(105k + 1,105k + 2,105k + 4,105k + 8, \cdots ,105k + 104\)，共48類    \(k = 0,1,2,3,4,5,6, \cdots \)
\(1000 = 48 \times 20 + 40\)，代表數了20輪迴後，再40個，就是第1000項。

因此進入第21輪迴，此時 \(k\)要帶入 20 計算。

\(105 \times 20 = 2100\), 104是第48類，往回退8類，就是 \(105k+86\)
所以第1000項是2186

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-24 08:48 PM 編輯 ]

請教第七題，
令 a=x+yi, b=y+zi, c=z+xi，則周長 =|a|+|b|+|c|
請問為什麼要這樣令？代表的意思是？
感謝。.

7. 根號內平方和有距離的味道，所以想到要用三角不等式

要怎麼令沒有一定，也可以在坐標平面上取四點

\( A(0,0), B(x,y), C(x+y,y+z), D(x+y+z,y+z+x) \)   ( \( D(1,1) \) )

則 \( \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} \geq \overline{AD} = \sqrt{2} \)

所以這邊令的A、B、C、D點是在圖(一)上？
這樣令，我又更看不懂了，D點跑出(1,1)...

想了一整夜，好像想通了(有點冗長，不過是思考過程)，
四邊形ABCD中(不是放在圖一或圖二座標系統上)
原式左邊看成是：AB向量、BC向量、CD向量，三個向量長度相加，
但須滿足 |AB向量|=sqr(x^2+y^2)、 |BC向量|=sqr(y^2+z^2)、 |AB向量|=sqr(z^2+x^2).....故此才會說"座標"令的方法不唯一
四邊形ABCD中，|AB|+|BC|+|CD|>|DA| (要形成四邊形，從A點出發，走到B、走到C、走到D，距離必大於AD直線距離)
故可令其中一種參數路徑為(所以四點座標令法不唯一)：向量AB=(x,y)、向量BC=(y,z)、向量CD=(z,x)，
則：向量AD=向量AB+向量BC+向量CD=(x,y)+(y,z)+(z,x)=(x+y+z,y+z+x)，
所以：|AB|+|BC|+|CD|>|AD|=|(x+y+z,y+z+x)|
即     sqr(x^2+y^2)+sqr(y^2+z^2)+sqr(z^2+x^2) > sqr[(x+y+z)^2+(y+z+x)^2 ] ，
且滿足題目條件x+y+z=1代入，得證。

[ 本帖最後由 mathca 於 2016-1-2 08:37 AM 編輯 ]

沒開題目，沒注意到題目原本就有 A,B,C,D。
總之，我的 A,B,C,D 不是原本的 A,B,C,D，就當作 A',B',C',D' 吧

第2題: \( \displaystyle \frac{2}{3} \)

第6題: \(\displaystyle \theta_0=\frac{6-2\sqrt{6}}{3} \pi \)， \(\displaystyle M= \frac{2\sqrt{3}}{27}\pi \)

想對一下這兩題的答案 謝謝