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回復 4# Jacobi 的帖子

第七題:
\(\Delta ABC\)為邊長是1的正三角形,\(P\)為三角形內部任意一點,過\(P\)作\(\overline{DE}\)平行\(\overline{BC}\),\(\overline{FG}\)平行\(\overline{AB}\),\(\overline{HI}\)平行\(\overline{AC}\);在空間坐標系上,取\(\overline{OQ}=\overline{PD}\),\(\overline{OR}=\overline{PE}\),\(\overline{OS}=\overline{FI}\),求\(\Delta QRS\)的周長最小值為何?
[解答]
令 \( \overline{PD}=x \), \( \overline{PE}=y \), \( \overline{FI}=z\),則 \( x+y+z=1 \).

\( \triangle QRS \) 周長 \(=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}} \).

令 \( a=x+yi \), \( b=y+zi \), \( c=z+xi \),則周長 \(=|a|+|b|+|c| \).

由三等不等式得 \(=|a|+|b|+|c| \geq |a+b+c|=\sqrt{2} \).

等式成立為三向量平行,得 \( x=y=z=\frac{1}{3} \) 且 P 為重心。
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回復 11# tsusy 的帖子

請教tsusy

題目說:連續堆疊的兩個立方體,上面那塊邊長超過下面那塊邊長2公分,會倒

所以題目的意思,能否允許上面邊長剛好比下面邊長多2公分?

題目後面有舉例說,從下到上2,1,3,4是OK的 (也就是3可以放在1的上面)

不過您的作法似乎是不允許3放在1的上面(相鄰且上面)? (可能我解讀有誤... 還請指教)

舉個例子,例如n=3就好,從下到上任意排應該就3!=6種,這6種應該都不會倒才對 (如此就不會是\(2^{n-1}\)種了)

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回復 13# Pacers31 的帖子

感謝指正,您的解讀是對...是我先前解讀錯誤

解 2. 的逐次插入法,仍然可以使用,但要從最大的開始放。

理由:如果堆疊完不會倒,那麼 1 的上方至多為 3 (若無,可解釋為  0)

所以把 1 抽出,不會倒,也是說 n 個安全的情形,必可由 n-1 之安全情形經插入最小者得到。

而且 n-1 時,堆疊順序不同,再插入新的正立方體,堆疊序必不相同。

先放 n,有 1 種;
再放 n-1,乘 2;
再放 n-2,乘 3;
再放 n-3,乘 3 (最上面,n-1 的下方,及n-2 的下方)
....
最後放 1,乘 3;

故安全的方法有 \( 2\cdot 3^{n-2} \),因此所求機率為  \( \frac{2\cdot 3^{n-2}}{n!} \)
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回復 2# bugmens 的帖子

證明題
第一題 \(\displaystyle \frac{1}{1999}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998}<\frac{1}{44} \)     (0.0005...<0.0178...<0.0227...)

在網路上看到更好的上下界為:
\(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{999}}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998}<\frac{1}{\sqrt{3\times999+1}} \)      (0.0158...<0.0178...<0.0182...)

一般式: \(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{n}}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{3n+1}} \)     (數學歸納法)

網址:
http://www.cut-the-knot.org/proofs/inequality.shtml
http://www.cut-the-knot.org/Generalization/inequality.shtml


P.S.
其中 \(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998} \) 的近似值 0.0178...  是由 R 軟體所算出

參考指令為:

x=1:999
for(k in 1:999)  x[k]=(2*k-1)/(2*k)
z=1
for(k in 1:999)  z=z*x[k]
z

[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-8-12 01:20 PM 編輯 ]

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1、將與\(105\)互質之所有正整數由小到大排成一數列,求此數列第\(1000\)項之值。
解答
\(105 = 3 \times 5 \times 7\),1至105的正整數中,和3互質,和5互質,和7互質的一共有48個。
\(105 \times \left( {1 - \frac{1}{3}} \right) \times \left( {1 - \frac{1}{5}} \right) \times \left( {1 - \frac{1}{7}} \right) = 48\)
把1至105的正整數,剩下的48個分類。
\(105k + 1,105k + 2,105k + 4,105k + 8, \cdots ,105k + 104\),共48類    \(k = 0,1,2,3,4,5,6, \cdots \)
\(1000 = 48 \times 20 + 40\),代表數了20輪迴後,再40個,就是第1000項。

因此進入第21輪迴,此時 \(k\)要帶入 20 計算。

\(105 \times 20 = 2100\), 104是第48類,往回退8類,就是 \(105k+86\)
所以第1000項是2186

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-24 08:48 PM 編輯 ]

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回復 11# tsusy 的帖子

請教第七題,
令 a=x+yi, b=y+zi, c=z+xi,則周長 =|a|+|b|+|c|
請問為什麼要這樣令?代表的意思是?
感謝。.

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回復 16# mathca 的帖子

7. 根號內平方和有距離的味道,所以想到要用三角不等式

要怎麼令沒有一定,也可以在坐標平面上取四點

\( A(0,0), B(x,y), C(x+y,y+z), D(x+y+z,y+z+x) \)   ( \( D(1,1) \) )

則 \( \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} \geq \overline{AD} = \sqrt{2} \)
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回復 17# tsusy 的帖子

所以這邊令的A、B、C、D點是在圖(一)上?
這樣令,我又更看不懂了,D點跑出(1,1)...

想了一整夜,好像想通了(有點冗長,不過是思考過程),
四邊形ABCD中(不是放在圖一或圖二座標系統上)
原式左邊看成是:AB向量、BC向量、CD向量,三個向量長度相加,
但須滿足 |AB向量|=sqr(x^2+y^2)、 |BC向量|=sqr(y^2+z^2)、 |AB向量|=sqr(z^2+x^2).....故此才會說"座標"令的方法不唯一
四邊形ABCD中,|AB|+|BC|+|CD|>|DA| (要形成四邊形,從A點出發,走到B、走到C、走到D,距離必大於AD直線距離)
故可令其中一種參數路徑為(所以四點座標令法不唯一):向量AB=(x,y)、向量BC=(y,z)、向量CD=(z,x),
則:向量AD=向量AB+向量BC+向量CD=(x,y)+(y,z)+(z,x)=(x+y+z,y+z+x),
所以:|AB|+|BC|+|CD|>|AD|=|(x+y+z,y+z+x)|
即     sqr(x^2+y^2)+sqr(y^2+z^2)+sqr(z^2+x^2) > sqr[(x+y+z)^2+(y+z+x)^2 ] ,
且滿足題目條件x+y+z=1代入,得證。

[ 本帖最後由 mathca 於 2016-1-2 08:37 AM 編輯 ]

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回復 18# mathca 的帖子

沒開題目,沒注意到題目原本就有 A,B,C,D。
總之,我的 A,B,C,D 不是原本的 A,B,C,D,就當作 A',B',C',D' 吧
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第2題: \( \displaystyle \frac{2}{3} \)

第6題: \(\displaystyle \theta_0=\frac{6-2\sqrt{6}}{3} \pi \), \(\displaystyle M= \frac{2\sqrt{3}}{27}\pi \)

想對一下這兩題的答案 謝謝

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