97家齊 No.9
已知正三角形ABC之邊長23 ，如圖附件所示，若點H為正三角形ABC垂心，在BC邊之延長線上取一點R，則直線HR分別與AB及AC交P、Q兩點，則1HP1HQ1HR=?


97家齊 N0.10
在以原點O(0，0，0)為球心，半徑為1的單位圓上取一點A(a1，a2，a3)，點A所對的另一點B(a3，a1，a2)有在這單位圓上，則AOB 之最大值為？

以上答題的觀念為何呢？

NO10
假設 ABC= 
cos=OAOBOAOB
cos=a1a2+a2a3+a3a1
cos=21[(a1+a2+a3)2−(a21+a22+a23)]
cos=21[(a1+a2+a3)2−1]
所以只要找 a1+a2+a3最小就好
顯然這個是0，只要在 x+y+z=0和 x2+y2+z2=1的交圓上取點即可
故cos=−21
=32
以上是從代數角度來看
若從幾何角度來看
將A變換為B可以看成先對 x=y做鏡射，再對 x=z做鏡射
這兩個的合成是繞他們的交線 x=y=z所做的旋轉
其夾角為3
故旋轉角為兩倍32
要求AOB 最大，就必須以O為旋轉點
就知道最大值為32

[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-20 06:51 PM 編輯 ]

NO9
HA=HB=HC=3323=2 
假設 AQH= 
那麼 BRH=60o+，BRH=60o− 
在三角形BPH，HAHQ=sinsin30o
在三角形AQH，HBHP=sin30osin(60o+)
在三角形BRH， \displaystyle \frac{HB}{HR}=\frac{\sin(60^o-\theta)}{\sin30^o}
三式相乘得 \displaystyle \frac{2}{HP}\times\frac{2}{HQ}\times\frac{2}{HR}=8\sin\theta\sin(60^o+\theta)\sin(60^o-\theta)
\displaystyle \frac{1}{HP}\times\frac{1}{HQ}\times\frac{1}{HR}=\frac{1}{4}\sin3\theta
所以這個結果會跟直線的位置有關，並非一個定值。
知識+有人問，給的答案是 \displaystyle \frac{\sqrt3}{8}
那麼 \angle AQH=\theta=45^o (如果是 15^o ，R會在BC線段上)
所以應該是題目少給條件了

[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-20 07:08 PM 編輯 ]

我了解，謝謝老王老師

請教王老師
第10題的幾何觀點為何從A到B繞x=y=z旋轉
A對x=y做鏡射與在對x=z做鏡射的夾角為60度
謝謝

先看平面的情況
假設兩直線 \displaystyle L_1,L_2 夾角為 \displaystyle \theta ，交於O
考慮兩個鏡射的合成 \displaystyle R(L_2) o R(L_1)
對於點A，假設AO將兩線夾角分成 \displaystyle \alpha+\beta
那麼由附圖可以看出最後得到的A"滿足
\displaystyle \angle{A"OA}=2\theta
故此兩鏡射的合成為中心為O的旋轉，旋轉角為夾角的兩倍
要注意的是這個角度是有方向性的

[ 本帖最後由 老王 於 2009-7-23 09:14 PM 編輯 ]

謝謝王老師
不過鄭在試圖理解中

請教第三題，感謝

第3題
這是老梗題了
\text{231}0=\text{2}\times \text{3}\times \text{5}\times \text{7}\times \text{11}
所求 = \frac{{{3}^{5}}-3}{3!}

感謝。