m 為實數，已知四次多項式\(3x^{4}-4mx^{3}+1=0\)無實根，求m的範圍？

令\(f(x)=3x^{4}-4mx^{3}+1\)

    \(f'(x)=12x^{3}-12mx^{2}=0\)

    \(x=0,0,m\)

     \(x=0\)時，\(f(0)=1\)，可知\(f(x)\)恆正

    1.\(m<0\)
      
       \(f(m)>0\)

       \(f(m)=3m^{4}-4m^{4}+1>0\)

       \((m^{2}+1)(m+1)(m-1)<0\)

       \(-1<m<1\) → \(-1<m<0\)

     2.\(m>0\)
      
       \(f(m)>0\)

       \(f(m)=3m^{4}-4m^{4}+1>0\)

       \((m^{2}+1)(m+1)(m-1)<0\)

       \(-1<m<1\) → \(0<m<1\)

由以上得\(-1<m<1\)

請問這樣解法正確嗎？

是否還其他方法呢？


[ 本帖最後由 Isaac 於 2009-6-16 05:56 PM 編輯 ]

不用分 1,2 呀，首項係數為正的四次函數 \(f(x)=3x^4-mx^3+1\)，

由 \(f'(x)=0\Rightarrow x=0,0,m\)

只要保證這"唯二"的兩個可能的最低點 \((0,f(0)),\; (m,f(m))\) 都在 \(x\) 軸上方，

則整個四次多項式函數的圖形 \(y=f(x)\) 就不會跟 \(x\) 軸有交點了。

亦即 \(f(0)=1>0\) 且 \(f(m)>0\;\Rightarrow -1<m<1.\)


另解：

同樣令 \(f(x)=3x^4-mx^3+1.\)

當 \(x=0\) 時，\(f(0)=1\neq0.\)

當 \(x\neq0\) 時，要求讓 \(f(x)=3x^4-mx^3+1=0\) 無實數解的 \(m\) 之範圍，

　　同除 \(x^3\)，可得 \(\displaystyle m=\frac{3x+\frac{1}{x^3}}{4}.\)

　　當 \(x>0\) 時，由算幾不等式可得 \(\displaystyle \frac{x+x+x+\frac{1}{x^3}}{4}\geq \sqrt[4]{x\cdot x\cdot x\cdot \frac{1}{x^3}}=1\)

　　　　故，\(m<1\)，可以保證 \(f(x)=0\) 沒有正根.

　　當 \(x<0\) 時，由算幾不等式可得 \(\displaystyle \frac{(-x)+(-x)+(-x)+\left(-\frac{1}{x^3}\right)}{4}\geq \sqrt[4]{(-x)\cdot (-x)\cdot (-x)\cdot \left(-\frac{1}{x^3}\right)}=1\)

　　　　故，\((-m)<1\Leftrightarrow m>-1\)，可以保證 \(f(x)=0\) 沒有負根.

故，\(-1<m<1\) 時，可以保證 \(f(x)=0\) 無實根.

Note: 沒記錯的話，這題應該是91年指考數學甲的題目.

謝謝瑋岳老師~~受益良多