m 為實數，已知四次多項式3x4−4mx3+1=0無實根，求m的範圍？

令f(x)=3x4−4mx3+1

    f(x)=12x3−12mx2=0

    x=00m

     x=0時，f(0)=1，可知f(x)恆正

    1.m0
      
       f(m)0

       f(m)=3m4−4m4+10

       (m2+1)(m+1)(m−1)0

       −1m1 → −1m0

     2.m0
      
       f(m)0

       f(m)=3m4−4m4+10

       (m2+1)(m+1)(m−1)0

       −1m1 → 0m1

由以上得−1m1

請問這樣解法正確嗎？

是否還其他方法呢？


[ 本帖最後由 Isaac 於 2009-6-16 05:56 PM 編輯 ]

不用分 1,2 呀，首項係數為正的四次函數 f(x)=3x4−mx3+1，

由 f(x)=0x=00m

只要保證這"唯二"的兩個可能的最低點 (0f(0))(mf(m)) 都在 x 軸上方，

則整個四次多項式函數的圖形 y=f(x) 就不會跟 x 軸有交點了。

亦即 f(0)=10 且 f(m)0−1m1


另解：

同樣令 f(x)=3x4−mx3+1

當 x=0 時，f(0)=1=0

當 x=0 時，要求讓 f(x)=3x^4-mx^3+1=0 無實數解的 m 之範圍，

　　同除 x^3，可得 \displaystyle m=\frac{3x+\frac{1}{x^3}}{4}.

　　當 x>0 時，由算幾不等式可得 \displaystyle \frac{x+x+x+\frac{1}{x^3}}{4}\geq \sqrt[4]{x\cdot x\cdot x\cdot \frac{1}{x^3}}=1

　　　　故，m<1，可以保證 f(x)=0 沒有正根.

　　當 x<0 時，由算幾不等式可得 \displaystyle \frac{(-x)+(-x)+(-x)+\left(-\frac{1}{x^3}\right)}{4}\geq \sqrt[4]{(-x)\cdot (-x)\cdot (-x)\cdot \left(-\frac{1}{x^3}\right)}=1

　　　　故，(-m)<1\Leftrightarrow m>-1，可以保證 f(x)=0 沒有負根.

故，-1<m<1 時，可以保證 f(x)=0 無實根.

Note: 沒記錯的話，這題應該是91年指考數學甲的題目.

謝謝瑋岳老師~~受益良多