設f(x)=9−x2+34x ，−3x3，當x=時，f(x)有最大值M；當x=  時，f(x)有最小值m，則(1)  (M)=?  (2) (m)=?

令 x=3cos0，則

f(x)=3sin+4cos=553sin+54cos=5sin+ 

其中， 為銳角，且滿足 cos=53sin=54



因為 0，所以 ++

如上圖，即為 + 角度之範圍。


當+=2 時，sin+=1 ， 此時 f(x) 有最大值 M=5，且

=2−x=3cos=3cos2−=3sin=512 

亦即，題意之 M=5125 


當 +=+ 時，sin+=−sin=−54 ，此時 f(x) 有最小值 m=−4，且

=x=3cos=3−1=−3 

亦即，題意之 m=−3−4 

假設的地方不是很懂 為何採取cos 而非sin

為何角度不是0  2  ?

[ 本帖最後由 Isaac 於 2009-6-16 12:07 AM 編輯 ]

問題一：為蝦咪取 cos 而不取 sin 呢？......其實都可以.

cos 在 [0] 剛好是值域為 [-1,1] 的

一對一對應且映成的函數 (One-to-One Correspondence，即 bijection).

如果要把一開始的 \cos\theta 改成 \sin\theta 也可以啦，

不過我就會改取定義域為 \theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]，

這樣剛好對應到值域為 [-1,1] 的一對一對應且映成的函數.








問題二：為蝦咪定義域不放寬到 \theta\in[0,2\pi] 呢？............因為還要開根號。



如果取 x=3\cos\theta 時，則 \sqrt{9-x^2}=\sqrt{9-9\cos^2\theta}=3\left|\sin\theta\right|，

此時若 \theta\in[0,\pi]，則 \sin\theta 是非負的，所以可以直接去掉絕對值。

而在 \theta\in(\pi,2\pi) 時，\sin\theta 是負的，去絕對值還要加負號，

讓定義域變大一點，結果反倒導致了不必要的（討論去絕對值的）麻煩。


承問題一，如果取 x=3\sin\theta 時，則 \sqrt{9-x^2}=\sqrt{9-9\sin^2\theta}=3\left|\cos\theta\right|，

此時因為取 \theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]，所以 \cos\theta 是非負的，也可以直接去掉絕對值。

謝謝  瑋岳老師  這樣子我明瞭了，放寬了定義域結果得到 最小值為-5的說