今天在找別的題目時，赫然發現EX13出自全國數學能力競賽決賽筆試第六題
將所附的參考解答列出，基本想法跟鋼琴老師的差不多
有請教過本校一位曾得過IMO銀牌的老師，他的作法與參考解答一開始的步驟是相同的
可以了解自己的能力差人家許多
令\( y_1=x_1+1,y_2=x_2-1,y_3=x_3+1,y_4=x_4-1,y_5=x_5+1,y_6=x_6-1 \)
原方程式變成
\(
\left\{ \begin{align}
(y_3+y_4+y_5+y_6)^5=4y_1 (1) \\
(y_4+y_5+y_6+y_1)^5=4y_2 (2) \\
(y_5+y_6+y_1+y_2)^5=4y_3 (3) \\
(y_6+y_1+y_2+y_3)^5=4y_4 (4) \\
(y_1+y_2+y_3+y_4)^5=4y_5 (5) \\
(y_2+y_3+y_4+y_5)^5=4y_6 (6)
\end{align}
\right. \)
不妨設\( y_1 \)是最大的，由(1)與(2)得到
\( (y_3+y_4+y_5+y_6)^5=4y_1 \geq 4y_2=(y_4+y_5+y_6+y_1)^5 \)
因此 \( y_3+y_4+y_5+y_64y_1 \geq y_4+y_5+y_6+y_1 \)
於是 \( y_3 \geq y_1 \)，故 \( y_3=y_1 \)
同理由(3)(4)可以得到 \(y_5=y_3 \)，故 \(y_1=y_3=y_5 \)
又由(4)(5)得
\( (y_1+y_2+y_3+y_4)^5=4y_5 \geq 4y_4=(y_6+y_1+y_2+y_3)^5 \)
\( y_1+y_2+y_3+y_4 \geq y_6+y_1+y_2+y_3 \)
\(y_4 \geq y_6 \)
同樣方式可以推得\( y_4 \geq y_6 \geq y_2 \geq y_4 \)
故\( y_2=y_4=y_6 \)
將所得結果都代入(1)(2)
\(
\left\{ \begin{align}
2^5(y_1+y_2)^5=4y_1 (7) \\
2^5(y_1+y_2)^5=4y_2 (8)
\end{align}
\right. \)
故\(y_1=y_2 \)，也就是\(y_1=y_2=y_3=y_4=y_5=y_6 \)，代入(1)
\( 4^5y_1^5=4y_1 \)
\( 4y_1(4y_1-1)(4y_1+1)[(4y_1)^2+1]=0 \)
\( \displaystyle y_1=0, \frac{1}{4}, \frac{-1}{4} \)
所求之解為
\( \displaystyle (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=(-1,1,-1,1,-1,1),(\frac{-3}{4},\frac{5}{4},\frac{-3}{4},\frac{5}{4},\frac{-3}{4},\frac{5}{4}),(\frac{-5}{4},\frac{3}{4},\frac{-5}{4},\frac{3}{4},\frac{-5}{4},\frac{3}{4}) \)
[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-29 09:15 PM 編輯 ]
