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98彰化高中

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98彰化高中

Ex4. 如下圖,在 \(\triangle ABC\) 中,已知 \(\overline{AM}\) 為中線, \(\overline{AE}\) 為角平分線, \(\overline{AD}\) 為垂線,
若 \(\overline{AM},\overline{AE},\overline{AD}\) 等分角 \(\angle BAC\),求 \(\angle BAM\)。(下圖並非按正確比例,僅供參考。)






Ex5. 平面上有一個四邊形 \(ABCD\),已知 \(\triangle ABD\) 為正三角形,且 \(\overline{AC}=2,\overline{BC}+\overline{CD}=2\),求四邊形 \(ABCD\) 面積。


Ex6. 在坐標平面上,過 \(A(2,0)\) 的直線交橢圓 \(\Gamma: 4x^2+y^2=4\) 於 \(B,C\) 兩點,且 \(O\) 為 \(\Gamma\) 的中心點,\(\angle BOC=90^\circ\),求過 \(B,C\) 兩點之直線方程式。


Ex13. 求下列聯立方程式之實數解 \((x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)\),

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{{\left( {{x_3} + {x_4} + {x_5} + {x_6}} \right)}^5} = 4{x_1} + 4} \\
  {{{\left( {{x_4} + {x_5} + {x_6} + {x_1}} \right)}^5} = 4{x_2} - 4} \\
  {{{\left( {{x_5} + {x_6} + {x_1} + {x_2}} \right)}^5} = 4{x_3} + 4} \\
  {{{\left( {{x_6} + {x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)}^5} = 4{x_4} - 4} \\
  {{{\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4}} \right)}^5} = 4{x_5} + 4} \\
  {{{\left( {{x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5}} \right)}^5} = 4{x_6} - 4} \\
\end{array}} \right.\]


Ex15. 平面上有兩固定圓 \(O_1,O_2\),及 \(O_1\) 上一定點 \(P\),試作圖,作一圓以 \(P\) 為切點,且與 \(O_1,O_2\) 皆相切。

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Ex6.在坐標平面上,過\( A(2,0) \)的直線交橢圓Γ:\( 4x^2+y^2=4 \)於B,C兩點,且O為Γ的中心點,\( ∠BOC=90^o \),求過B,C兩點之直線方程式

假設BC直線參數式為\( (2+t,mt) \)代入\( 4x^2+y^2=4 \)得\( (m^2+4)t^2+16t+12=0 \)
交點\( B(2+t_1,mt_1) \),\( C(2+t_2,mt_2) \)得\( t_1+t_2=-\frac{16}{m^2+4} \),\( t_1 t_2=\frac{12}{m^2+4} \)
又BO⊥CO,\( \frac{mt_1}{2+t_1}\cdot \frac{mt_2}{2+t_2}=-1 \)得到m

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EX4
如果是在考場,就趕快設座標或是線段長去算
平時當然會想別的辦法,花了將近一個小時想出下面的作法

\( AC=AE \)
\( \displaystyle \frac{BM}{ME}=\frac{BA}{AE}=\frac{BA}{AC}=\frac{BE}{EC} \)
\( \displaystyle \frac{BM}{BM+ME}=\frac{BE}{BE+EC} \)
\( \displaystyle \frac{BM}{BE}=\frac{BE}{BC} \)
\( \displaystyle BE^2=BM*BC=2BM^2 \)
\( \displaystyle \frac{BM}{BE}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{BE}{BC} \)
所以若令 \( BM=1 \)
那麼 \( \displaystyle BE=\sqrt2 , BC=2 \)
\( \displaystyle ME=\sqrt2-1 \)
\( \displaystyle ED=\frac{2-\sqrt2}{2} \)
於是
\( \displaystyle \frac{AM}{AD}=\frac{ME}{ED}=\sqrt2 \)
故三角形AMD為等腰直角三角形
\( \angle MAD=45^o \)
\( \angle BAC=90^o \)

[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-11 05:32 PM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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EX15阿波羅尼斯圓問題,如果以前沒看過,我覺得在考場要想出來的機率不到百分之十

[作法]:
1. 作直線\( O_1P \)
2. 以P為圓心,圓\(O_2\)的半徑畫圓,交直線\( O_1P \)於C,D兩點
3. 連接\( O_2C \)並作其中垂線,交直線\( O_1P \)於A
4. 以A為圓心,AP為半徑畫圓即為所求
5. 連接\( O_2D \)並作其中垂線,交直線\( O_1P \)於B
6. 以B為圓心,BP為半徑畫圓亦為所求

證明應該很容易

[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-11 08:36 PM 編輯 ]

附件

98彰中EX15.JPG (40.41 KB)

2009-6-11 17:50

98彰中EX15.JPG

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第五題我打錯了,是 \(\triangle ABD\) 為正三角形,

已修正,感謝。

^__^

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EX5
\( \displaystyle AC*BD=2*BD=(BC+CD)*BD=BC*AD+CD*AB \)
由托勒密逆定理知ABCD為圓內接四邊形
\( \displaystyle (ABCD)=(ABC)+(ACD)=\frac{1}{2}(BC*2*sin60^o+CD*2*sin60^o)=\sqrt3 \)

如果是填充題,把C放在B或是D,答案就出來了

[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-12 07:28 AM 編輯 ]
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ex4.補個出處
△ABC的中線\( \overline{AM} \)、角平分線\( \overline{AE} \)、和高\( \overline{AD} \)將\( \angle BAC \)分成4等分,求\( \angle BAC \)的大小。(請詳加說明理由)
(建中通訊解題第6期)
居然是國中生就會的題目而且還有三種解法,實在令人汗顏。

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回復 7# bugmens 的帖子

基本上這類問題,只要有純幾何解法,就能丟給國中生作
建中通訊解題的目的,是在於提早發現優秀的國中生,好讓他們在進建中之前能得到一些指導
而這些人以後有可能成為IMO的選手,所以不必太在意
而且考試有時間限制,平常則沒有,像我,在考試時是不可能花一個小時去想的
說實在的,一開始我是畫出解法一的圖去思考,結果格了半天格不出來,總覺得要用同一法

個人認為考試時還是依賴解析幾何較佳
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請問有完整的題目嗎

我到彰中網站查似乎沒看到...不知道是否有放過而拿下來了?請問有老師有完整的題目嗎?謝謝分享~

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於考試後,彰中並沒有公佈題目。 :-)

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