算幾不等式的例題，求 4xy^2=1 在第一象限內最接近原點的點.

題目：

求曲線 \(4xy^2=1\) 上在第一象限內距原點最近之點，並求此最短距離。

解答：

設 \(P(x,y)\) 為 \(4xy^2=1\) 上，在第一象限內的點，

由算幾不等式可得

\[\frac{{{x^2} + \frac{{{y^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{2}}}{3} \ge \sqrt[3]{{\frac{{{x^2}{y^4}}}{4}}}\]

\[ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{64}}}} = \frac{3}{4}\]

\[ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}}  \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

故，最接近原點的距離為 \(\displaystyle\frac{{\sqrt 3 }}{2},\)

且當等號成立時，\(\displaystyle{x^2} = \frac{{{y^2}}}{2}=\frac{1}{4} \Rightarrow \left( {x,y} \right) = \left( {\frac{1}{2},\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).\)