引用:
原帖由 arend 於 2009-5-14 12:31 AM 發表 
在圓x^2+y^2=9上任取一點C, 過C作圓的切線L1, 過點A(3,0)作此切線L1的垂線L2, 點B(-3 , 0)連BC射線交L2於P點, 求動點P的軌跡方程式
謝謝
若 \(C\) 與 〝\(A\) 或 \(B\)〞 都不是同一點.
Part 1:
以下欲證明 \(\overline{AP}=\overline{AB}\)，亦即要證 \(\angle CBA = \angle CPA.\)
如下圖，設 \(D\) 為 \(L_1\) 與 \(L_2\) 的交點，連 \(\overline{AC}\)，則
在 \(\triangle ACD\) 中，因為 \(\angle ADC=90^\circ\)，所以 \(\angle ACD = 90^\circ - \angle CAD.\;..........(1)\)
在 \(\triangle ACP\) 中，因為 \(\angle ACP=\angle ACB =90^\circ\)，所以 \(\angle CPA = 90^\circ - \angle CAP.\;........(2)\)
由 \((1), (2)\)，可得 \(\angle CPA = \angle ACD\)，且因為 \(\angle ACD= \frac{1}{2} {\frown \atop {AC}}.\) （弦切角）
所以， \(\angle CPA =\frac{1}{2} {\frown \atop {AC}}.\;........ (3)\)
而 \(\angle CBA=\frac{1}{2} {\frown \atop {AC}}\) （圓周角）\(........(4)\)
由 \((3),(4)\)，可得 \(\angle CBA = CPA \;\Rightarrow\; \angle APB\) 為等腰三角形，得 \(\overline{AP}=\overline{AB}.\)
亦即 \(P\) 在〝以 \(\overline{AB}\) 為半徑，以 \(A\) 為圓心的圓〞之圓周上.
Part 2:
反之，設 \(P\) 為〝以 \(\overline{AB}\) 為半徑，以 \(A\) 為圓心的圓〞之圓周上之任意點，
且 \(P\) 異於 \(B\) 與〝\(B\) 對於 \(A\) 的對稱點〞.
連接 \(\overline{CB}\) 使之交已知小圓於 \(C\)，過 \(C\) 作 \(\overline{CD}\) 垂直 \(\overline{AP}\) 於 \(D\) 點，
（下寫的比較簡略）
可得 \(\angle DCA = \angle CPA =\angle CBA = \frac{1}{2} {\frown \atop {AC}}\)，
亦即 \(\angle DCA\) 為弦切角 \(\Rightarrow\; \overleftrightarrow{CD}\) 為切線.
故，〝以 \(\overline{AB}\) 為半徑，以 \(A\) 為圓心的圓〞之圓周上的任意點，
只要異於 \(B\) 與〝\(B\) 對於 \(A\) 的對稱點〞，都會滿足題目要求的 \(P\) 的條件.
若 \(C\) 可為 \(A\) 或 \(B\)，則分別可得 \(P\) 為 \(B\) 與〝\(B\) 對於 \(A\) 的對稱點〞.
故，\(P\) 點軌跡圖形為〝以 \(\overline{AB}\) 為半徑，以 \(A\) 為圓心的圓〞.
