對數的題目，log x^n之尾數與log (1/x^n) 之尾數相等

設 \(n\) 為一已知正整數，\(\log x\) 之首數為 \(1\) ，\(\log x^n\) 之尾數與 \(\displaystyle \log \frac{1}{x^n}\) 之尾數相等，求滿足此條件之所有 \(x\) 值之總和.

解答：

令 \(\log x = 1 + a\)，其中 \(0\leq a<1\)，則

\[\log x^n - \log \frac{1}{x^n} = \left(n \log x\right) - \left( - n \log x\right) = 2n \log x = 2n\left(1+a\right) \mbox{ 為整數} \]

因此 \(2n\cdot a\) 為整數，

且由於 \(0\leq a<1\) 且 \(n\) 為正整數 \(\Rightarrow 0\leq 2n\cdot a<2n\)，

所以 \(2n\cdot a = 0, 1, 2, \ldots, 2n-1\)，亦即 \(\displaystyle a = 0, \frac{1}{2n}, \frac{2}{2n},\ldots, \frac{2n-1}{2n}.\)

故，所有滿足題意的 \(x\) 得和為

\[10^{ 1+ 0} + 10^{ 1+ \frac{1}{2n}}  + 10^{1+ \frac{2}{2n} } + \cdots+ 10^{ 1+ \frac{2n-1}{2n}}\]

這是一個有限項的等比級數，首項為 \(10\)，公比為 \(10^{\frac{1}{2n}}\)，項數為 \(2n\)，

所以，

\[\mbox{所求}= \frac{10\left( \left(10^{\frac{1}{2n}}\right)^{2n} -1\right)}{10^{\frac{1}{2n}}-1} = \frac{90}{10^{\frac{1}{2n}}-1}.\]