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試問一題92年的台中一中的題目

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試問一題92年的台中一中的題目

真的不知道怎麼想,

x, y為實數,  -根號2<x<根號2, y>0  試求(x-y)^2+(根號(2-x^2)+9/y)^2的最小值

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97全國聯招也有這題,第11篇
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48958(連結已失效)

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謝謝各位這麼熱心的回答

小弟受教了

尚有一題要請教

一個圓內接四邊形ABCD, AB與CD的延長線交於P點, AD與CB的延長線交於Q點,圓心為O, 已知圓半徑 為r , OP=m, OQ=n , 試求 PQ(用r, m,n表示)

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引用:
原帖由 yensheng0122 於 2009-4-27 08:01 PM 發表
謝謝各位這麼熱心的回答

小弟受教了

尚有一題要請教

一個圓內接四邊形ABCD, AB與CD的延長線交於P點, AD與CB的延長線交於Q點,圓心為O, 已知圓半徑 為r , OP=m, OQ=n , 試求 PQ(用r, m,n表示)
記錄一下試題出處及解答:

(小地方重新修飾過,並補上一張附圖)



解答:

由圓冪定理,可得

\(\overline{PA} \cdot \overline{PB}=\overline{PC} \cdot \overline{PD}\) 且 \(\overline{QA}\cdot \overline{QD}=\overline{QB}\cdot \overline{QC}\)

作直線 \(\overleftrightarrow{PO}\) 和圓交於 \(M, N\),

使得 \(\overline{PM}=\overline{PO}-\overline{OM}=a-r\), \(\overline{PN}=\overline{PO}+\overline{ON}=a+r\),則

\[\overline{PM} \cdot \overline{PN}=\left(a-r\right)\left(a+r\right)=a^2-r^2=\overline{PA} \cdot \overline{PB}=\overline{PC}\cdot \overline{PD}.\]

同理,

\[\overline{QA}\cdot \overline{QD}=\overline{QB}\cdot \overline{QC}=b^2-r^2.\]

作\(\triangle QCD\) 的外接圓,使之與 \(\overline{PQ}\) 交於點 \(K\),則

\[\overline{PK}\cdot \overline{PQ}=\overline{PC}\cdot \overline{PD}\, .................\, (1)\]

由於 \( \angle DKQ=\angle DCB \Rightarrow \angle DKP=180^\circ - \angle DKQ = 180^\circ - \angle DCB=\angle DAP \)

所以,\(K, D, A, P\) 四點共圓,因而

\[\overline{QK} \cdot \overline{QP}=\overline{QA}\cdot \overline{QD}\, .................\, (2)\]

由 (1)+(2),可得

\[\overline{PQ}\cdot \left(\overline{PK}+\overline{QK}\right)=\overline{PC}\cdot \overline{PD}+\overline{QA}\cdot \overline{QD}\]

\[\Rightarrow \overline{PQ}^2=a^2-r^2+b^2-r^2\]

\[\Rightarrow \overline{PQ}=\sqrt{a^2+b^2-2r^2}\]




此解答出處:http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1609042508270

此解題作者: Yahoo 知識+〝面目黧黑的老王〞

此解答作者的網誌:老王的夢田

題目出處:2009 政大附中教師甄試

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