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對數的題目,利用配方法求值.

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對數的題目,利用配方法求值.

設 \(x\) 為實數, \(y\) 為正實數,且 \(\displaystyle \left(\log_9 y\right)^2+\left(2^{x+1}+2^{-x+1}\right) \left(\log_9 y\right)+2^{2x+1}+2^{-2x+1}=0.\),

求 \(y\) 的值.

解答:
利用配方法求解,
\[\left(\log_9 y\right)^2+\left(2^{x+1}+2^{-x+1}\right) \left(\log_9 y\right)+2^{2x+1}+2^{-2x+1}=0\]
\[\Rightarrow \left(\log_9 y\right)^2+2\left(2^{x}+2^{-x}\right) \left(\log_9 y\right)+2\cdot 2^{2x}+2\cdot 2^{-2x}=0\]
\[\Rightarrow \left(\log_9 y + 2^{x}+2^{-x}\right)^2+2\cdot 2^{2x}+2\cdot 2^{-2x} - \left(2^{x}+2^{-x}\right)^2=0\]
\[\Rightarrow \left(\log_9 y + 2^{x}+2^{-x}\right)^2+\cdot 2^{2x}+\cdot 2^{-2x} - 2=0\]
\[\Rightarrow \left(\log_9 y + 2^{x}+2^{-x}\right)^2+\left(2^{x}-2^{-x}\right)^2=0\]

因此,
\[\log_9 y + 2^{x}+2^{-x}=0 \mbox{  且  }2^{x}-2^{-x}=0\]

由 \(\displaystyle 2^{x}-2^{-x}=0 \Rightarrow 2^x = \frac{1}{2^x}\Rightarrow 2^{2x}=1\),解得 \(x=0\),

帶入 \(\log_9 y + 2^{x}+2^{-x}=0\),得 \(\log_9 y=-2\),

故, \(\displaystyle y=9^{-2} = \frac{1}{81}.\)

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