若 a，b，c為正數，試證：

                      sqrt(ab(a+b))+sqrt(bc(b+c))+sqrt(ac(a+c)) >= sqrt((a+b)(b+c)(c+a))

數學符號不知道要怎麼呈現耶....><

引用:

原帖由 pgcci7339 於 2009-3-19 03:01 PM 發表
若 a，b，c為正數，試證：

                      sqrt(ab(a+b))+sqrt(bc(b+c))+sqrt(ac(a+c)) >= sqrt((a+b)(b+c)(c+a))

數學符號不知道要怎麼呈現耶....><

如下，就做不出來了，不知道有沒有人可以接下去。 ^__^

令 x=a+by=b+cz=c+as=2x+y+z，且以 xyz 為三邊的三角形為 ABC，則

a=2x−y+z=s−yb=2x+y−z=s−zc=2−x+y+z=s−x

題目：

aba+b  +bcb+c  +cac+a  a+bb+cc+a 

s−ys−zx  +s−zs−xy  +s−xs−yz  xyz 

yzs−ys−z  +zxs−zs−x  +xys−xs−y  1 

sin2A+sin2B+sin2C1

所以等同於要證明 ABC 的

sin2A+sin2B+sin2C1

（接下來就沒想到了怎麼證了，晚點有空繼續想，呵呵。）

補上出處,藍藍天上一朵雲2005題目收集
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/search.php
版面選"高中職教甄考古題讀書交流區",搜尋關鍵字用"正數"可以找到thepiano的妙解
　
你現在看的那份題目都出自http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewforum.php?f=50
發問前先找看看,大家也不用在前人已經解過的題目上浪費時間

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-3-21 06:36 AM 編輯 ]

（繼續補上，續接之前回覆～）

因為 sinx 函數圖形在 0x2 時，開口凹向下註1，


由圖形可以知道，當 0x2 時，恆有

sin(x)2x

故，

sin2A+sin2B+sin2C22A+22B+22B=A+B+C=1 

推廣：

如果再搭配 bugmens 所提醒的 23sin2A+sin2B+sin2C 

（一般證法可見 https://math.pro/db/thread-229-1-4.html ，取其中第三個不等式的 a=2Ab=2Bc=2C  註2）



可以得到

23sin2A+sin2B+sin2C1 

亦即，此題可以進一步證明得到

23a+bb+cc+aaba+b  +bcb+c  +cac+a  a+bb+cc+a 

註1: 可由 sinx=−sinx00x2 ，

　　 得知當sinx 函數圖形在 0x2 時，開口凹向下.

註2:

3sin2A+sin2B+sin2Csin32A+2B+2C=  sin6A+B+C=sin6=21 

不好意思，我在發問前有去您說的這些地方找過，也許是我打的關鍵字不對。
才一直找不到，所以我才來發問...造成你們的困擾很不好意思orz

a b c均為正數   
且a+b+c=1
証明(2+1/a)(2+1/b)(2+1/c)最小值是125

(2+a1)(2+b1)(2+c1)

=(2+aa+b+c)(2+ba+b+c)(2+ca+b+c)

=(3+ab+c)(3+bc+a)(3+ca+b)

=3(a2bc+b2ca+c2ab)+13(ba+ab+cb+cb+ca+ca)+38

333a2bcb2cac2ab+13(2baab+2cbcb+2caca)+38 

=9+78+38=125

當a=b=c=31時等號成立

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-8-28 06:03 AM 編輯 ]