已知拋物線 \(\Gamma:\; y^2=4cx,\, c>0\)，且 \(F\) 為焦點，\(V\) 為頂點，\(\overline{AB}\) 為一焦弦，
設 \(A\left(ct^2, 2ct\right)=\left(x_1,y_1\right),\, B\left(ck^2, 2ck\right)=\left(x_2,y_2\right)\)，其中 \(t,k\) 為實數，
試證：
1. \[tk=-1.\]
2. \[x_1x_2 = c^2 且 y_1y_2 = -4c^2.\]
3. \[\overline{AB}=c\left(t-k\right)^2=c\left(t+\frac{1}{t}\right)^2.\]
4. \[\triangle VAB 面積 = c^2\left|t-k\right|=c^2\left|t+\frac{1}{t}\right|.\]
證明：
1.
由 \(F\left(c,0\right),\, A\left(ct^2, 2ct\right),\, B\left(ck^2, 2ck\right)\) 可得
\[\overrightarrow{FA}=(ct^2 - c, 2ct),\overrightarrow{AB}=(ck^2 - ct^2, 2ck-2ct)\]
因為 \(A,F,B\) 三點共線，所以
\[(ct^2 - c) : 2ct = (ck^2 - ct^2) : (2ck-2ct)\]
同時約掉非零的 \(c, (k-t)\)，再化簡，即可得
\[tk=-1.\]
2.
\[x_1x_2 = ct^2\cdot ck^2 = c^2 (tk)^2 = c^2\]
且
\[y_1y_2 = (2ct)\cdot(2ck) = 4c^2(tk) = -4c^2.\]
3.
\[\overline{AB} = \overline{AF} + \overline{FB}= A到準線的距離 + B 到準線的距離\]
\[=(x_1 + c) + (x_2+c)=(ct^2 + c) + (ck^2 +c)\]
\[= c\left(t^2 + k^2 +2\right) = c\left(t^2 + k^2 -2tk\right)\]
\[=c(t-k)^2 = c(t + \frac{1}{t})^2.\]
4. \[\triangle VAB 面積 = \frac{1}{2} | \left| {\begin{array}{*{20}c}
{\overrightarrow {VA} } \\
{\overrightarrow {VB} } \\
\end{array}} \right| | = \frac{1}{2} | \left| {\begin{array}{*{20}c}
{ct^2 } & {2ct} \\
{ck^2 } & {2ck} \\
\end{array}} \right| | \]
\[=c^2\left|tk(t-k)\right| = c^2\left|\left(-1\right)\left(t-k\right)\right| \]
\[= c^2\left|t-k\right| = c^2 \left|t + \frac{1}{t}\right|.\]
