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拋物線,焦弦的兩端點坐標之性質

拋物線,焦弦的兩端點坐標之性質



已知拋物線 :y2=4cxc0,且 F 為焦點,V 為頂點,AB 為一焦弦,

Act22ct=x1y1Bck22ck=x2y2 ,其中 tk 為實數,

試證:
1.
tk=1

2.
x1x2=c2 且 y1y2=4c2

3.
AB=ctk2=ct+t12 

4.
VAB面積=c2tk=c2t+t1






證明:

1.

Fc0Act22ctBck22ck  可得
FA=(ct2c2ct)AB=(ck2ct22ck2ct)

因為 AFB 三點共線,所以
(ct2c):2ct=(ck2ct2):(2ck2ct)

同時約掉非零的 c(kt),再化簡,即可得
tk=1


2.
x1x2=ct2ck2=c2(tk)2=c2


y1y2=(2ct)(2ck)=4c2(tk)=4c2


3.

AB=AF+FB=A到準線的距離+B到準線的距離

=(x1+c)+(x2+c)=(ct2+c)+(ck2+c)

=ct2+k2+2=ct2+k22tk 

=c(tk)2=c(t+t1)2



4.
VAB面積=21  VA    VB  =21  ct2  ck22ct  2ck  

=c2tk(tk)=c21tk 

=c2tk=c2t+t1

多喝水。

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