設 \( f(x) \) 為領導系數為 1 的四次多項式，已知 \( f(1)=5, f(2)=9, f(3)=13 \)，求 \( f(7)+f(-3) \) 之值。

解：

令
\[ f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + 4x+1,\]
則
\[
f(7) + f(-3) =\left( 6\cdot 5\cdot 4 (7-a) + 29 \right) + \left( (-4)\cdot (-5) \cdot (-6) (-3-a) + -11 \right)
\]
\[
=6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \left((7-a)-(-3-a)\right) + 18 = 1218.
\]

相同的題目請一併準備

高中數學101 P81
設\( f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d \) ，\(a,b,c,d \in Z\)，已知\(f(2)=20\)，\(f(3)=30\)，\(f(1)=10\)，則\(f(10)+f(-6)=\)

衛道中學複習考二1~4冊2007
http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/ra/RA336.pdf
若\(f(x)\)為領導係數為1的實係數四次多項式，已知\(f(2)=3\)，\(f(3)=5\)，\(f(4)=7\)，試求\(f(-1)+f(7)=\)

TRML1999個人賽
若\(f(x)\)表領導係數為1之四次整係數多項式，而且\(f(1)=5\)，\(f(2)=10\)，\(f(3)=15\)，試求\(f(8)+f(-4)\)之值

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-3-1 10:29 AM 編輯 ]

你的假設 f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−a)+4x+1 很妙
造一個函數 g(x) = 4x +1 使得 g(1) = 5、g(2) = 9、g(3) = 13
但這其實是個特例

利用插值多項式的概念，我也可以造個 h(x) = 5 (x-2)(x-3)(x-4)/(-6) + 9(x-1)(x-3)/(-1) + 13(x-1)(x - 2)/2
而得到 f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + h(x)
此時仍可以滿足題目條件……

巧的是，我造的函數仍會有f(7)+f(-3)=1218

我在此提出第一個疑問，如何確定您找的特例可以確保答案正確？

=================================================================================

第二個問題
我利用GeoGebra，令 f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−a)+4x+1
計算 f(7) - f(-3)，會得定值
但是 f(7) - (-2) 就不會得定值了
也就是說，這種題目的 "7" 和 "-3" 應該是特別找的
它需要符合什麼樣的性質，才能讓這種題目的求值能成為定值呢？

引用:

原帖由 eggsu1026 於 2012-1-19 12:25 AM 發表
你的假設 f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−a)+4x+1 很妙
造一個函數 g(x) = 4x +1 使得 g(1) = 5、g(2) = 9、g(3) = 13
但這其實是個特例

利用插值多項式的概念，我也可以造個 h(x) = 5 (x-2)(x-3)(x-4)/(-6) + 9(x-1)(x- ...

所求的f(7)+f(-3)
7與-3的平均數=2
只要所求的f(x1)+f(x2)
讓(x1+x2)/2=2,則f(x1)+f(x2)會變成定值
因為這樣可以把a消掉
例如可以求
f(-4)+f(8),
f(-5)+f(9),
.....

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-1-19 12:44 AM 編輯 ]

Ｑ：如何確定您找的特例可以確保答案正確？

觀察易知 \(g(x)=4x+1\) 亦滿足 \(g(1)=5,g(2)=9, g(3)=13\)

則 \(f(1)-g(1)=0, f(2)-g(2)=0,f(3)-g(3)=0\)

由因式定理，可知 \(f(x)-g(x)\) 有 \(x-1, x-2,x-3\) 的因式，

且因為四次多項式 \(f(x)\) 的首項係數為 \(1\)，\(g(x)\) 為三次式，

所以可以令 \(f(x)-g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-a)\Rightarrow f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-a)+g(x).\)



註：

如果觀察不到，改利用 Lagrange 插值找出來滿足 \(f(1)=5,f(2)=9,f(3)=13\) 的多項式 \(\displaystyle \frac{5(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}+\frac{9(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}+\frac{13(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}\)

展開後亦會是 \(4x+1\)，也就是滿足 \(f(1)=5,f(2)=9,f(3)=13\) 的最低次數的多項式，

不信的話～你也可以把你用牛頓插值法找出來的多項式減去 \((-5/6)\) 倍的 \((x-1)(x-2)(x-3)\) ，以消去三次項係數，

亦會得 \(4x+1\)

to weiye：

我知道可以用拉格朗日插值法找最低次的多項式

而我所挑戰的是我也可以用拉格朗日插值法，找三次的多項式，甚至四次、五次、六次、……
(怎麼打分數啊？不會在 mathpro 打分數，請辛苦看一下)

g(x) = 5 * (x-2)(x-3)(x-4)/((1-2)(1-3)(1-4)  +  9 * (x-1)(x-3)(x-40)/((2-1)(2-3)(2-40)) + 13 (x-1)(x-2)(x-400)/((3-1)(3-2)(3-400))

上面的三次多項式會滿足 g(1) =5 、g(2) = 9 、g(3) = 13

則 f(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + g(x) 也會滿足 f(1)=5、f(2)=9、f(3)=13

=================================================================================================
to Ellipse:

您的意思下面的講法嗎？
如果題目給 f(a)、f(b)、f(c)，其中 (a+c)/2=b 時
則 f(b+d) + f(b-d) = 定值

也就是說，如果題目給 f(1) = 5、f(2) =9、f(4)=17
我們就找不到 a、b 使得 f(a) + f(b) = 定值了嗎？

不知您有沒有發現，您找到的都是

其實通式為 \(4x+1 + (x-1)(x-2)(x-3)\times Q(x)\) 的多項式呢～：）

而 \(4x+1\) 本來就可以隨便換成其他的～像是換成 \(4x+1+10000000(x-1)(x-2)(x-3)\)

然後把通式改寫成 \(4x+1+10000000(x-1)(x-2)(x-3)+ (x-1)(x-2)(x-3)\times Q(x)\) 亦可呀～

並沒有唯一性呀～除非您有要求那個特解具有更多的性質～像是～次方數要最小～

不然其實並沒有唯一性～也可以用觀察而得特解～都可以呀～



另外～而 Lagrange 本來就可以拿來找高次多項式呀～

不太瞭解您的問題點？：）

了解您的意思了
您的意思是指即使我可以用拉格朗日插值法找到其他g(x) ，使得 g(1)=5 、g(2)=9、g(3)=13
則 g(x) 必為  (x-1)(x-2)(x-3)Q(x) + 4x+1 之型式
所以找到的 f(X) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + g(x)
　　　　　　　= (x-1)(x-2)(X-3)(x-a) + (x-1)(x-2)((x-3)Q(x) + 4x+1
　　　　　　　= (x-1)(x-2)(X-3)[(x-a)+Q(x)] + 4x+1

意即　f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + 4x+1 不是特例，而是通例！

p.s. 分數要怎麼打出來啊？

沒錯～　\(f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + 4x+1\)

即是在滿足 \(f(1)=5,f(2)=9,f(3)=13\) 的多項式以外～

額外要求的＂首項係數為 \(1\) 且為四次多項式＂之下的通解。

如果題目只有寫 \(f(x)\) 為滿足 \(f(1)=5,f(2)=9,f(3)=13\) 的多項式，

那我就會寫成 \(f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)Q(x) + 4x+1\) 了～（其中 \(Q(x)\) 是 \(x\) 的多項式）


另外，

關於分數的顯示～

可以參考這篇 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=705&page=1#pid1201 最下方的回覆～

在 LaTeX 裡面～分數的語法式 \frac{分子}{分母}

：）

以此題為例，

關於這個題目設計的關鍵點～

或許就是在  \((x-1)(x-2)(x-3)(x-a)\) 這一塊～

當中 \(x-a\) 前面的係數 \((x-1)(x-2)(x-3)\)

1. 當 \(x\) 以 \(2\pm h\) 帶入\((x-1)(x-2)(x-3)\)，可以得到異號的兩相反數，

2. 當 \(x\) 以 \(2\pm h\) 帶入\(x-a\)，可以得到 \(a\) 前面的係數相同～

因此，題目才會設計成要問 \(f(2+h)+f(2-h)\) ，其中 \(h\) 為某已知數字。



小弟心底偷偷思尋～那可否修改題目～將 f(x) 改為五次呢？

那要怎樣設計題目怎樣的兩數，才能讓 \(f(\mbox{第一數})\pm f(\mbox{第二數})\) 求出定值呢？

似乎做得出來～：Ｐ

然後～還是設計成三數呢？

首相係數不為 1 ～改為其他數呢？

可以設計得出來～但如果數字要好看～就要花點心思了！：Ｐ