1. x,y,z不等於0的實數
證:1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2>=x+y+z/xyz

2. 三角形ABC的三邊長為a ,b ,c, 內切圓半徑為r , s為周長之半
證:1/(s-a)^2 +1/(s-b)^2 +1/(s-c)^2 >= 1/r^2

試了幾個方法都無法解出,請板上高手提示一下
謝謝

1. 設 xyz 為不等於 0 的實數，證: 1x2+1y2+1z2xyzx+y+z

觀察一下右式， xyzx+y+z=1xy+1yz+1zx

令 a=x1b=y1c=z1，則題目等同於要證明

a2+b2+c2ab+bc+ca

由柯西不等式可得

(a2+b2+c2)(b2+c2+a2)(ab+bc+ca)2

⇒(a2+b2+c2)ab+bc+caab+bc+ca

或是由算幾不等式

2a2+b2a2b2=abab 

2b2+c2b2c2=bcbc 

2c2+a2c2a2=caca 

上三式相加，可得 a2+b2+c2ab+bc+ca.

或是利用配方法，

(a2+b2+c2)−(ab+bc+ca)=21a−b2+b−c2+c−a20 

⇒(a2+b2+c2)(ab+bc+ca)

補個出處－高中數學競賽教程P180,中一中合作盃金頭腦第廿次有獎徵答
a=x+y，b=y+z，c=z+x
r=xyzx+y+z 
得到第一題的式子
利用科西不等式得證
(1x2+1y2+1z2)(1y2+1z2+1x2)=(1xy+1yz+1zx)2

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-2-25 07:23 PM 編輯 ]

謝謝瑋岳與bugmen老師

另外要請教瑋岳老師一題
再您文章提到一題
(cos(x)+1)sin(x)中求最大值(你給答案3 sqrt(3)/4) 0<x<180度
我是利用半角公式得
2cos^2(x/2)*2sin(x/2)cos(x/2)=4cos^3(x/2)sin(x/2)
然後再用算幾不等式與三角疊合求 答案有出入

可否告知
謝謝

解：

cosx+1sinx　=　2cos2x22sinx2cosx2　=　4cos3x2sinx2 

因為 0x，所以 0x2　⇒　 sin2x0且cos2x0 .
由算幾不等式，可得

43cos22x+3cos22x+3cos22x+sin22x43cos22x3sin2x2 

⇒　414127cos6x2sin2x2 

兩邊同時平方

⇒　116133cos3x2sinx2 

⇒　4334cos3x2sinx2 

⇒　433cosx+1sinx 

所以，cosx+1sinx  之最大值為 433 .

謝謝瑋岳老師
這麼巧妙的解法

我是直接把cos^3(x/2)sin(x/2)<=((3cos(x/2)+sin(x/2))/4)^4
再用三角疊合3cos(x/2)+sin(x/2)=sqar(10)sin(x/2+theta)<=sqar(10)

我的答案變成25/16  
不知我哪一個環節觀念不對, 望不吝指教

謝謝瑋岳老師夜深裡還po文告知,感激不盡

引用:

原帖由 arend 於 2009-2-26 12:58 AM 發表
我是直接把cos^3(x/2)sin(x/2)<=((3cos(x/2)+sin(x/2))/4)^4
再用三角疊合3cos(x/2)+sin(x/2)=sqar(10)sin(x/2+theta)<=sqar(10)

用了兩次不等式，兩者的等號不一定會同時成立，

第一個算幾不等式，等號成立條件時，是當 cos2x=sin2x  之時，

且由

sin2x2+cos2x2=1　與　0x22， 

可解得

\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}

⇒　\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4}.

而第二個由三角函數的疊合，所產生的不等式，當中等號的成立條件是當 \frac{x}{2} 滿足

\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{3}{\sqrt{10}} 　且　 \sin\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{10}}，

故，兩者不會同時成立，所以最大值，不是此值。

謝謝瑋岳老師
我太大意,一時不察
當第一等式成立
等號成立條件時，是當 \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) 之時，

且由

\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=1 　與　 0<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2} ，

可解得

\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}

⇒　\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4}.

直接帶入,最大值只為1<3*sqar(3)/4
謝謝不吝告知

請問第2提怎麼解??

若偷用第一題的結論以及 rs=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

\displaystyle \frac{1}{(s-a)^2}+\frac{1}{(s-b)^2}+\frac{1}{(s-c)^2}\geq\frac{s}{(s-a)(s-b)(s-c)}=\frac{1}{r^2}

若沒有第一題的話，原命題

\displaystyle \Leftrightarrow \Big(\frac{r}{s-a}\Big)^2+\Big(\frac{r}{s-b}\Big)^2+\Big(\frac{r}{s-c}\Big)^2\geq 1

\displaystyle \Leftrightarrow \tan^2\frac{A}{2}+\tan^2\frac{B}{2}+\tan^2\frac{C}{2}\geq 1

由以下柯西不等式以及 \tan^2\frac{A}{2}+\tan^2\frac{B}{2}+\tan^2\frac{C}{2}\geq 0，可知上式成立

\displaystyle \Big(\tan^2\frac{A}{2}+\tan^2\frac{B}{2}+\tan^2\frac{C}{2}\Big)\Big(\tan^2\frac{B}{2}+\tan^2\frac{C}{2}+\tan^2\frac{A}{2}\Big)\geq\Big(\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{C}{2}\tan\frac{A}{2}\Big)^2=1

最後的等號利用了 \displaystyle \frac{A+B+C}{2}=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{C}{2}\tan\frac{A}{2}=1 這件事