問題：

已知 √2009 = √x ＋ √y　且　0＜x＜y，則滿足上式的整數對（x, y）共有幾組？






解答：

　√2009 = √x ＋ √y

　⇒　√y= √2009－√x

　⇒　y = 2009＋x－2√（2009x）

因為 2009 = (7^2)×41，所以 y = 2009 ＋ x － 14√（41x）

因為 y 為整數，所以 41x為完全平方數，且因為 41 為質數，

所以可以令 x = 41×\(a^2\) ，其中 a 為正整數，亦即　√x = a√41。

同理，可令 y = 41×\(b^2\) ，其中 b 為正整數，亦即　√y = b√41。

因為 0＜x＜y，所以 0＜a＜b。




所以

√2009 = √x ＋ √y

⇒　7√41 = a√41 ＋ b√41

⇒　7 = a ＋ b

且由 a, b 皆為正整數，0＜a＜b，可得

數對（a,b）=（1,6）、（2,5）或（3,4），

故，

數對（x,y）=\(（41,41×6^2）、（41×2^2,41×5^2）或（41×3^2,41×4^2）\)

共三組。

補上出處92台南縣國中聯招
相關討論h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13842　連結已失效

2010.3.2補充
已知\( \sqrt{2009}=\sqrt{x}+\sqrt{y} \)，且\( 0<x<y \)，求整數對\( (x,y) \)。
[書上解答]
原方程改寫為\( 7 \sqrt{41}=\sqrt{x}+\sqrt{y} \)，由此可見\( x \)必為\( 41t^2 \)的形式，\( y \)必為\( 41k^2 \)的形式，且\( t+k=7 \)(\( t \),\( k \)為正整數)。
∵\( 0<x<y \)，　∴\( t<k \)。
當\( t=1 \)，\( k=6 \)時，得\( (41,1476) \)；當\( t=2 \)，\( k=5 \)時，得\( (164,1025) \)；當\( t=3 \)，\( k=4 \)時，得\( (369,656) \)；
(初中數學競賽教程P32)

109.6.16補充
\(\sqrt{2499}=\sqrt{A}+\sqrt{B}\)，且\(A<B<1000\)，則\(B-A\)之值為　　　。
(109建功高中國中部，https://math.pro/db/thread-3348-1-1.html)

111.6.11補充
試問有多少組整數數對\((a,b)\)滿足\(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{180}\)？
(A)6　(B)7　(C)8　(D)9
(111新北市國中聯招，https://math.pro/db/thread-3653-1-1.html)