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分解成平方和

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分解成平方和

從1~200這些正整數中,可表示成二個不同的非負整數之平方和的數共有幾個?

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從1到200這些正整數中,可表示成二個不同的非負整數(即包含0)之平方和的數共有  個。
(2008青少年數學國際城市邀請賽初賽)















1234567891011121314
0149162536496481100121144169196
1510172637506582101122145170197
213202940536885104125148173200
3253445587390109130153178205
44152658097116137160185212
5617489106125146169194221
685100117136157180205232
7113130149170193218245
8145164185208233260
9181202225250277
10221244269296
11265290317
12313340
13365


補充一題類似題
How many of the integers between 1 and 1000, inclusive, can be expressed as the difference of the squares of two nonnegative integers?
(1997AIME,http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=393578)

附件

2008青少年數學國際城市邀請賽初賽.rar (375.87 KB)

2009-8-6 21:28, 下載次數: 3383

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請問這題除了全部列出來以外,

65=1^2+8^2=4^2+7^2
85=2^2+9^2=6^2+7^2
25,100,125,130,145,169,170,185,
這些可以拆成兩種平方和

想請問一下前輩,有沒有其他的辦法直接找到呢?
感謝^^

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不難發現平方數必定符合題意。 其他的可能性就用到一個抽象代數上的定理: 一個奇質數可表為二個平方數之和,若且唯若

此數被 4 除餘 1. 在 1 ~ 200 間的平方數就有 1^2, 2^2, ..., 14^2. 至於被 4 除餘 1 的有 5, 9, 13, ..., 197 共 47 個,再扣掉這些數字中重覆與相同平方數構成的部分

即可. 一般的平方數可以利用整複數 (也就是高斯整數,複數平面上的整數對) 的絕對值概念來討論,即

(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2.

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