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97松山家商

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填充題2. 已知方程式 x- 32 = 0 的四個相異虛根為 α, β, γ, δ,設 f(x) = x³ + x² + 1,則 f(α) + f(β) + f(γ) + f(δ) = ?

解:

本題除了可以單獨考慮四個相異虛根,亦可綜合考慮所有的 n 次方根。

由極坐標配合同餘觀念,易知 f(2) + f(α) + f(β) + f(γ) + f(δ) = 1+1+1+1+1 = 5

因此,f(α) + f(β) + f(γ) + f(δ) = 5 - f(2) = 5 - 13 = - 8

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引用:
原帖由 cefepime 於 2015-8-23 08:17 PM 發表
填充題2. 已知方程式 x⁵ - 32 = 0 的四個相異虛根為 α, β, γ, δ,設 f(x) = x³ + x² + 1,則 f(α) + f(β) + f(γ) + f(δ) = ?

解:

本題除了可以單獨考慮四個相異虛根,亦可綜合考慮所有的 n 次方根。

由極 ...
抱歉,同餘的部份可以稍微解釋怎麼使用在這裡的嗎?感謝

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回復 12# deca0206 的帖子

事實上,若非 0 複數 Z 的 k 個相異 k 次方根 ( k > 1,k∈N) 為 Z1, Z2, ..., Zk,則對於非 k 倍數的整數 n,有 Z1ⁿ + Z2ⁿ + ... + Zkⁿ = 0。

本題可直接利用此性質,得 f(2) + f(α) + f(β) + f(γ) + f(δ) = 0+0+1+1+1+1+1 = 5

如果忘了上述性質,亦可利用極坐標體會之:



x- 32 = 0 的五個相異五次方根為 2, α, β, γ, δ,其在極坐標的位置如上圖左,為正五邊形的五個頂點,其主幅角分別為 0, θ, 2θ, 3θ, 4θ (θ = 2π/5)。

現以各根之三次方為例,除了絕對值三次方外,其幅角分別成為 3mθ, m = 0,1,2,3,4。

由於 m 取不同值時,各 3m 對於 5 之餘數皆不同 (也因此主幅角各異),所以上述五個根三次方後 (2³, α³, β³, γ³, δ³),其在極坐標的位置如上圖右,為正五邊形的五個頂點,故可知 2³ + α³ + β³ + γ³ + δ³ = 0。二次方的情形亦然。

由此亦可知 f(2) + f(α) + f(β) + f(γ) + f(δ) = 0+0+1+1+1+1+1 = 5。

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以上內容若有誤,敬請不吝指正。

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回復 1# vln0106 的帖子

請教證明第1題,感謝。

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回復 14# mathca 的帖子

證明 1. 將垂心記作 H

HDBF 四點共圓 (有兩對角為直角) => ∠HFD = ∠HBD

同理 HEAF 四點共圓 => ∠HFE = ∠HAE

由 CAD、CBE 兩直角三角形有 ∠HBD = 90° - ∠ACB = = ∠HAE

故 ∠HFD = ∠HBD = ∠HAE = ∠HFE,因此 FH 平分 ∠ DFE

同理可得 HD, HE 亦為角平分線,故 H 為三角形 DEF 之內心
文不成,武不就

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回復 15# tsusy 的帖子

感謝。B共圓+A共圓+C角度。相當清楚。

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