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如何比較三角函數大小(同角度,不同三角函數)

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如何比較三角函數大小(同角度,不同三角函數)

(1)sin37度與tan37度
(2)sin57度與tan57度
續問:
cos37與tan37比大小
cos57與tan57比大小



我畫同心圓但想不出來
懇請賜教

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對任意銳角 θ,皆可畫如上圖的直角三角形,

1. x<r ⇒ 1/r < 1/x ⇒ y/r < y/x ⇒ sin θ < tan θ

  所以 sin 37° < tan 37° 且 sin 57° < tan 57°

2. 在上圖中,若 x 不變,當角度 θ 變大時,顯然 y 也會跟著變大,亦即 tan θ=y/x 也會變大,

  因此 tan 33° < tan57°

  且利用 cos57°=sin33°,以及上面 1. 的結論 (sin33° < tan33°),

  可以得到 cos57°=sin33° < tan 33° < tan57°,

  故 cos57° < tan57°

3. 如果要一般化的話,我們來討論看看對於任意銳角 θ,何時 cos θ < tan θ 才會成立呢?

  cos θ < tan θ

  ⇔ cos θ < (sin θ / cos θ)

  ⇔ (cos θ)^2 < sin θ

  ⇔ 1-(sinθ)^2 < sin θ

  ⇔ (sinθ)^2 + sin θ -1 > 0

  ⇔ sinθ > (-1 + √5)/2  或是 (-1 - √5)/2 > sinθ

  因為 θ 為銳角,所以 sin θ > 0 恆成立,所以此時等價於 sinθ > (-1 + √5)/2




  如果 α=arcsin{ (-1 + √5)/2 } 的話,

  α看起來不像是特殊角(如果可以用特殊角拼湊出來的話,歡迎告知,感激!)


  因為當 θ=36° 時,利用 cos 18°=(-1 + √5)/4,

    可以求得 sin 36° ={√(10 -2 √5)}/4 < (-1 + √5)/2

  因為當 θ=45° 時,利用 cos 18°=(-1 + √5)/4,

    可以求得 sin 45° =(√2)/2 > (-1 + √5)/2

  所以,α應該是一個介在 36°~45°之間的角度。


  若 θ>α,則 cos θ < tan θ,

  若 θ<α,則 cos θ > tan θ。

  ( 實際查表的結果是 α≒38.1727° )。

  ^__^

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老師
謝謝你熱心的答覆
我研究至少三小時以上耶
這部分我蠻弱的

我發現
當角度大於45度且小於90度時
cos<sin<tan<sec
但角度小於45度時
卻只有 sin<cos,sin<tan<sec無法用不等式連起來

[ 本帖最後由 ksjeng 於 2008-11-2 09:23 PM 編輯 ]

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