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例題:求 Σk^2 * C(n,k) 之值

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例題:求 Σk^2 * C(n,k) 之值

求 1^2 * C(n,1) + 2^2 * C(n,2) +3^2 * C(n,3) + ... + n^2 * C(n,n) 之值。
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代碼:
1*C(n,1) + 2^2*C(n,2) +3^2 *C(n,3)+...+n^2*C(n,n)

= Σk^2 * C(n,k)

= Σk*(k-1) C(n,k) + Σk * C(n,k)

= 把 C 換成階乘的定義

= n*(n-1)*ΣC(n-2,k-2) + n*ΣC(n-1,k-1)

= n*(n-1)* 2^(n-2) + n* 2^(n-1)

= n*(n+1)* 2^(n-2)
另外還想到一種解法
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代碼:
由二項式定理
(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)*x+C(n,2)*x^2...+C(n,n)*x^n

左右同時對 x 微分可得
n*(1+x)^(n-1)=1*C(n,1)+2*C(n,2)*x...+n*C(n,n)*x^(n-1)

左右同乘 x 可得
n * x * (1+x)^(n-1) = 1 * C(n,1) * x + 2 * C(n,2) * x^2 ... + n*C(n,n) * x^n

左右同時對 x 微分可得
n * (1+x)^(n-1) + n * x * (n-1) * (1+x)^(n-2) = 1^2 * C(n,1) + 2^2 * C(n,2) * x ... + n^2 * C(n,n) * x^(n-1)

x=1 代入,可得

n * 2^(n-1) + n*(n-1)*2^(n-2) = 1^2 * C(n,1) + 2^2 * C(n,2) ... + n^2 * C(n,n)

左式經整理,可得

n*(n+1)*2^(n-2) = 1^2 * C(n,1) + 2^2 * C(n,2) ... + n^2 * C(n,n)

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