利用中國餘數定理(我比較習稱作"中國剩餘定理",又名"孫子定理")來找找通解,
(下面要開始找一個特殊解)
先找 "8和7的倍數,卻滿足被5除會於二的數",找到 (8×7)×2;
再找 "8和5的倍數,卻滿足被7除會於一的數",找到 (8×5)×3;
繼續找 "5和7的倍數,卻滿足被8除會於一的數",找到 (5×7)×3;
則找到一個特殊解 m=8×7×2 + 8×5×3 + 5×7×3。
(下面要說明這個特殊解是ok滴)
當 m 被 5 除的時候,可以發現 8×5×3 跟 5×7×3 的部分分別都會 5 整除,只有 8×7×2 被 5 除會於 2;
當 m 被 7 除的時候,可以發現 8×7×2 跟 5×7×3 的部分分別都會 7 整除,只有 8×5×3 被 7 除會於 1;
當 m 被 8 除的時候,可以發現 8×7×2 跟 8×5×3 的部分分別都會 8 整除,只有 5×7×3 被 8 除會於 1;
所以可以發現 m = 8×7×2 + 8×5×3 + 5×7×3 同時滿足題目要求的這個條件,所以找到一個特殊解。
再利用 〝5,7,8 最小公倍數 [5,7,8] 的倍數〞被 5,7,8 都會整除 的特性,
可以知道,對於任意整數 t,
8×7×2 + 8×5×3 + 5×7×3 + [5,7,8]×t 一定也會滿足題目的要求,
所以令通解為 8×7×2 + 8×5×3 + 5×7×3 + [5,7,8]×t = 337 + 280 t,其中 t 為任意整數。
(下面要解完這個題目囉)
題目有說人數大概比兩千人略多一點點而已,所以就可以知道
337 + 280 t > 2000
⇒ t > (2000 - 337) / 280 = 5.93928571..........
⇒ t 的最小正整數值為 6
⇒ 兵員數為 337 + (280 × 6) = 2017 人
題外話,Note:
中國剩餘定理跟 Lagrange 插值法原理都一樣,
都是先一次解決一小部分的問題,
然後加總起來就是合乎題目條件的答案。