因為 \(\frac{z}{z-1}\) 為純虛數，
所以
\[ \frac{z}{{z - 1}} = - \overline {\left( {\frac{z}{{z - 1}}} \right)} \]
\[\frac{z}{{z - 1}} = - \frac{{\overline z }}{{\overline z - 1}}\]
交叉相乘，得
\[z\left( {\overline z - 1} \right) = - \overline z \left( {z - 1} \right)\]
\[z^2 - z = - z^2 + \overline z \]
\[z + \overline z =2z^2 \]
令 \(z=x+yi\)，則
\[2x = 2\left( {x^2 + y^2 } \right)\]
\[\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{4}\]
所以 z 在複數平面的圖形為一圓（圓心為 \(\frac{1}{2} + 0i\)，且半徑為 \(\frac{1}{2}\)），
而題目要求的就是此圓上的點到 \(0+ i\) 的最長距離，
也就是 \(\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)。
