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求所有可能的角度

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求所有可能的角度

若cost是8x^3-4x^2-4x+1=0的一根,求所有可能的t,0<=t<=2pi

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令 x = y + (1/6),可得 8y^3-(14/3) y+(7/27)=0

令 y = (-√7)z/3,可得 4z^3-3z=1/(2√7)

令 z = cos θ,可得 cos 3θ=1/(2√7)

因此 θ= arccos 1/(2√7), arccos 1/(2√7)+2π/3, 或 arccos 1/(2√7)+4π/3

所以 x=1/6+y=1/6+(-√7 z)/3=1/6+(-√7 cos θ)/3,

   其中 θ= arccos 1/(2√7), arccos 1/(2√7)+2π/3, 或 arccos 1/(2√7)+4π/3

且由題意 x=cos t,

故 t =arccos{1/6+(-√7 cos θ)/3}, 或 2π-arccos{1/6+(-√7 cos θ)/3}

   其中 θ= arccos 1/(2√7), arccos 1/(2√7)+2π/3, 或 arccos 1/(2√7)+4π/3





















另外,今天在 PTT 的數學版,看到一個高手的解答,漂亮多了,
引用:
連結:http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1212360597.A.641.html

作者  Sfly (Category)                                             看板  Math  
標題  Re: [高中數學] 三角方程式                                                
時間  Mon Jun  2 06:49:55 2008                                                
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※ 引述《mathsun (數戰數決)》之銘言:                                          
: 若 0 < x < pi/6                                                               
: 試解 8sin^3(x) - 4sin^2(x) - 4sinx + 1 = 0                                    
: Ans: x = pi/14                                                               
: --------------------------------------------------                           
: 用牛頓定理(一次因式檢驗法)無法找出 sinx 的有理根,                             
: 用卡當諾三次方程式無法解出 pi/14 這麼漂亮的答案,                              
: 請賜教,謝謝.                                                                  
                                                                                
理論上應該可以用三倍角做出來                                                   
但可能需要硬湊                                                                  
用複數直接一點 let e=cosx+isinx, e'=1/e=cosx-isinx                              
2i*sinx=e-e'                                                                    
so, 8sin^3(x) - 4sin^2(x) - 4sinx + 1                                          
   = i(e^3-3e+3e'-e'^3) + (e^2-2+e'^2) +2i(e-e')+1                              
   = -(ie)^3 - (ie)^2 - ie - 1 -..-(ie)^(-3)                                    
so 0=(8sin^3(x) - 4sin^2(x) - 4sinx + 1)(1-ie)=(ie)^4 - (ie)^(-3)               
ie. (ie)^7=1, e^7=i        
so sin(7x)=1=> 7x=Pi/2 => x=Pi/14.  

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