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正切值最小值

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正切值最小值

三角形ABC中,求(1)(tanA/2)^2+(tanB/2)^2+(tanC/2)^2的最小值(2)(tanA/2)+(tanB/2)+(tanC/2)的最小值

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引用:
原帖由 chu1976 於 2008-5-27 09:06 PM 發表
三角形ABC中,求(1)(tanA/2)^2+(tanB/2)^2+(tanC/2)^2的最小值(2)(tanA/2)+(tanB/2)+(tanC/2)的最小值
因為 0<A, B, C<π,所以 tan(A/2)、tan(B/2)、tan(C/2)皆為正數。


(1)

利用柯西不等式,

{(tan(A/2))^2+(tan(B/2))^2+(tan(C/2))^2}
  ×{(tan(B/2))^2+(tan(C/2))^2+(tan(A/2))^2}
   ≧ {(tan(A/2))(tan(B/2))+(tan(B/2))(tan(C/2))+(tan(C/2))(tan(A/2))}^2=1^2

所以,(tan(A/2))^2+(tan(B/2))^2+(tan(C/2))^2 最小值為 1



(2)

{(tan(A/2))+(tan(B/2))+(tan(C/2))}^2

=(tan(A/2))^2+(tan(B/2))^2+(tan(C/2))^2

 +2{(tan(A/2))(tan(B/2))+(tan(B/2))(tan(C/2))+(tan(C/2))(tan(A/2))}

≧1+2=3

所以,tan(A/2)+tan(B/2)+tan(C/2)≧√3

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