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求極值

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求極值

(1)\( \displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \),\( \displaystyle f(x)=cosx+\frac{4}{cosx} \)之最小值為何是5?
(2)\( -1<a<1 \),\( -1<b<1 \),\( -1<c<1 \),求證\( -1<ab+bc+ca<3 \)

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引用:
原帖由 chu1976 於 2008-5-12 08:04 PM 發表
(1)-pi/2<x<pi/2,f(x)=cosx+4/cosx之最小值為何是5?
令 t=cos(x),則 0<t≦1,且

  y = f(x) = t + 4/t

  ⇒ (y-t)t=4

  ⇒ 圖形為一雙曲線且兩漸近線為 y=t 與 t=0,極值發生在 t=±2 的時候,

    可是 t 有範圍限制 (0,1],所以看函數圖形可以發現在 t=1 的時候 y 有最小值,且 y 沒有最大值。

    t=1 帶回,可得 f(x) 的最小值為 5.


         
引用:
原帖由 chu1976 於 2008-5-12 08:04 PM 發表
(2)-1<a<1,-1<b<1,-1<c<1,求證-1<ab+bc+ca<3
Part 1:

    由柯西不等式,

    (ab+bc+ca)^2≦(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)<3×3

    ⇒ -3<ab+bc+ca<3

另解,

因為 -1<a<1,-1<b<1,-1<c<1,所以 -1<ab<1,-1<bc<1,-1<ca<1,

⇒ -3<ab+bc+ca<3


Part 2:

   (1) 若 a,b,c 中,有任一數為 0,則 ab+bc+ca>-1

   (因為,不失一般性,可假設 a=0,則 ab+bc+ca = bc>-1 )

   (2) 假設 a,b,c 三數皆非0,則

     (i) 若三數皆為正,或三數皆為負,則 ab+bc+ca>0>-1

     (ii) 若三數為兩正一負,不失一般性,假設 1>a>0,1>b>0,0>c>-1,則

        ab+bc+ca=ab+c(b+a)>ab+(-1)(a+b)=(a-1)(b-1)-1>0-1=-1

     (iii) 若三數為一正兩負,不失一般性,假設1>a>0,0>b>-1,0>c>-1,則

        ab+bc+ca=a(b+c)+bc> 1×(b+c)+bc=(b+1)(c+1)-1>0-1=-1




故,由 Part 1&2,可得 -1<ab+bc+ca<3







Part 2 另解:

令 f(x)=(b+c)x+bc+1,則

 f(1)=(b+1)(c+1)>0 且 f(-1)=(1-b)(1-c)>0

因為 f(x) 為線性函數,所以對任意 -1<a<1,皆滿足 f(a)>0

亦即 (b+c)a+bc+1>0,

亦即 ab+ac+bc>-1



再一個另解:

因為 (1+a)、(1+b)、(1+c)、(1-a)、(1-b)、(1-c) 都為正,

所以 (1+a)(1+b)(1+c)>0且(1-a)(1-b)(1-c)>0,

將兩者相加,即可得 1+ab+ac+bc>0,

亦即 ab+ac+bc>-1

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如何得知極值發生在t=2.-2呢?!

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引用:
原帖由 chu1976 於 2008-5-12 09:28 PM 發表
如何得知極值發生在t=2.-2呢?!
若 t>0,由算幾不等式,

    y = t + 4/t ≧ 2√{t×4/t} = 4,所以當 t = 4/t 且 t >0,意即當 t =2時, y 有極小值 4,

    且因為 y = t + 4/t 是奇函數,圖形對成於原點,所以當 t=-2 時,y有極大值 -4。


註:圖形是斜擺的雙曲線,所以會讓 y 座標發生極值的點,並不是雙曲線的頂點。

  (這點可以先畫一個標準的兩軸平行座標軸的雙曲線,再旋轉一下就可以感覺出來了。)

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當 t =2時, y 有極小值 4<--是指區域極小值嗎?!
當 t=-2 時,y有極大值-4<--是指區域極大值嗎?!

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嗯嗯,如果不限制 t 的範圍的話,就是當 t=±2 的時候,y有極大、極小值,
不限制 t 的範圍的話,畫圖可以看出,沒有最大、最小值。

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2(1-ab)(1-bc)(1-ca)為何會小於2x0呢?!

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第二題,想太快了,上述有誤,我再想想要怎樣証 > -1。

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引用:
原帖由 weiye 於 2008-5-12 10:41 PM 發表
第二題,想太快了,上述有誤,我再想想要怎樣証 > -1。
真是不好意思麻煩你
我也盡量想想看!

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上面第二題的回覆,已有修改。 :-)

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