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空間平面

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空間平面

n為自然數,空間中平面
x+y+z=<n
-x+y-z=<n
x-y-z=<n
-x-y+z=<n
內格子點數為a_n,則lim(a_n/n^3)=?(as n->infinite)

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8/3 ?

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引用:
原帖由 weiye 於 2008-5-5 12:22 PM 發表
8/3 ?
沒錯,請問你是怎麼算的呢?!
如何找出格子點?

[ 本帖最後由 chu1976 於 2008-5-5 01:11 PM 編輯 ]

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我並沒有算出共有多少格子點,

只是去估計,格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2)

上面哪個 Big-O 定義: http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation

所以改用圖形體積去求,

畫出圖形發現是一個正四面體,

且正四面體當中,互相歪斜的兩個稜距離是 2n,

因此算出正四面體邊長為 (2√2)n,體積為 (8*n^3)/3,

所以,把體積除以 n^3,當 n 區近於無窮大時,其極限值為 8/3.








註: Big-O 是以前我修資料結構跟解析數論這兩門的時候老師提到的,

  就是當 n 趨近於無窮大時,該函數的漸近行為,換句話說,就是

  格子點的個數 跟 圖形所圍區域的體積的誤差值,至多可以用一個二次以下多項式函數表示。

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接下來該怎麼做,無從著手,而
我得到的答案是格子點數有sigma[(n-k+1)(n+k-1)+(n-k)(n+k)],as k=1 to n,再加上2n^2+2n+1


[ 本帖最後由 chu1976 於 2008-5-6 09:36 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 weiye 於 2008-5-5 01:48 PM 發表
我並沒有算出共有多少格子點,

只是去估計,格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2)

...
請問老師 這是如何估計的 謝謝

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補上出處
高中數學101 第53單元 空間平面方程 p188
1998日本東京大學

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引用:
原帖由 jisam 於 2009-7-30 04:27 PM 發表
請問老師 這是如何估計的 謝謝
如上面回覆所言,用所圍區域的體積估計之。

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不好意思 是我表達錯誤了
"只是去估計,格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2)"
怎會知道要用這樣方式 為什麼不是
格子點的個數 = 所圍區域的體積*2 +O(n^2)"之類的

而剛剛好是   格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2)
謝謝

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對於長、寬、高分別是 \(a,b,c\) 的長方體(\(a,b,c\)是正整數),

其體積為 \(abc\),

其格子點個數為 \((a+1)(b+1)(c+1)=abc+\left(ab+bc+ca+a+b+c+1\right).\)

設 \(a,b,c\) 為 \(n\) 的一次函數,

則 \(abc\) 為 \(n\) 的三次函數,且 \(\left(ab+bc+ca+a+b+c+1\right)=O(n^2).\)

因此, 格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2) .

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