一個圓用其半徑分割成 n (n ≥ 2) 個相異扇形，用 k (k ≥ 1) 種顏色來塗色。每一扇形塗一色, 相鄰扇形皆異色, 顏色可以重複使用且不一定 k 種顏色全用。
求證: 塗法數 an = (k-1)ⁿ + (-1)ⁿ (k-1)
之前拜讀過的方法，大致上都是基於 an 與之前項 ( an₋₁ 或 an₋₁ 與 an₋₂ ) 的關係 (遞迴關係)。現用另一個思維--取捨原理，來考慮這個題目。
an = (k 色塗 n 區方法數) - (前項中，存在相鄰區同色的聯集)
= kⁿ - C(n,1)*kⁿ⁻¹ + C(n,2)*kⁿ⁻² -......+C(n,n-1)*(-1)ⁿ⁻¹ k + C(n,n)*(-1)ⁿ k (註)
= kⁿ - C(n,1)*kⁿ⁻¹ + C(n,2)*kⁿ⁻² -......+C(n,n-1)*(-1)ⁿ⁻¹ k + C(n,n)*(-1)ⁿ - C(n,n)*(-1)ⁿ + C(n,n)*(-1)ⁿ k
= (k-1)ⁿ + (-1)ⁿ (k-1) (配合二項式定理，得證)
註: 這裡最後一項是 C(n,n)*(-1)ⁿ k (各區皆同色，有 k 種方法) 而非依之前規律的 C(n,n)*(-1)ⁿ，是因為最後"環繞一圈"之故: 若本題各區域呈一直線，則規律將保持 (當然這種情況一般會用乘法原理簡單解，不太會想用取捨原理)。
心得: 歸納規律時，應考慮驗證極端情況是否可成立 -- 這是例外常發生之處。
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另一個想法: 經由古典機率求方法數 (亦應用遞迴式)
考慮問題: 由第 1 區開始，以順時針方向依序將下一區塗色，過程中在不與上一區同色的前提下隨機選色。則第 n 區與第 1 區異色的機率為?
令 Pm 表示第 m 區與第 1 區異色的機率，則有:
Pm = [(k-2) /(k-1)] * Pm₋₁ + (1 - Pm₋₁) = 1 - [Pm₋₁ /(k-1)]，m ≥ 2; 且 P₁ = 0
⇒ Pn = [-1 /(k-1)]ⁿ⁻² *(1 /k) + (k-1) /k
所求塗法數 an = k*(k-1)ⁿ⁻¹ *Pn = (k-1)ⁿ + (-1)ⁿ (k-1)
