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機率的題目,利用遞迴數列求機率的題目

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機率的題目,利用遞迴數列求機率的題目

甲乙二人輪流擲一不公正銅板(出現正面機率為2/3,出現反面機率為1/3),若出現正面,甲給乙一元,出現反面,乙給甲一元.金甲有m元,乙有n元(\(m,n\in N\)), 則甲將乙錢贏光之機率為______.




[解]設甲有k元時,將乙贏光之機率為a_k且a_0=0,a_m+n=1,
為何a_k=1/3*(a_k+1)+2/3*(a_k-1)呢?!<--此恆等式怎麼得來的?

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引用:
原帖由 chu1976 於 2008-4-12 11:30 PM 發表
[解]設甲有k元時,將乙贏光之機率為a_k且a_0=0,a_m+n=1,
為何a_k=1/3*(a_k+1)+2/3*(a_k-1)呢?!<--此恆等式怎麼得來的?
"輪流丟",這三個字好像沒有用到?


當甲有 \(k\) 元時,其獲勝機率 \(a_k\) 恰由下列二者組成,

case i.  若擲出反面(機率是 \(\frac{1}{3}\)),則甲變為 \(k+1\) 元,接下來獲勝機率為  \(a_{k+1}\) 。

case ii.  若擲出正面(機率是 \(\frac{2}{3}\)),則甲變為 \(k-1\) 元,接下來獲勝機率為  \(a_{k-1}\) 。

所以 \(a_k=\frac{1}{3}a_{k+1}+\frac{2}{3}a_{k-1}\)

剩下的就用遞迴數列的特徵方程式來解就可以了。





題外話:

這題目應該是跟隨機過程(Stochastic process)裡面醉漢走路的問題一樣,

Google 搜尋"隨機過程 醉漢" 或 "Random Walk" 會有些相關的介紹,

其中 http://www.stat.nuk.edu.tw/prost ... %86%89%E6%BC%A2.htm 這篇的說明與解法也蠻不錯的。

另外,台中一中的某次高二學校期末考有考過上面這題( http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/rc/T93223A.pdf ),

不過機率改成各 \(\frac{1}{2}\) 而已。




討論串:http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=42950

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謝謝您的答覆
其實我的問題就是跟您的答案一樣!
覺得遞迴關係式1/3, 2/3 的位置應該是寫反了!

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請幫我算算看 , 答案是 a_n=(2^m)*[(2^n)-1] / {[2^(m+n)]-1} 嗎?

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這邊原先的遞迴關係應該沒有問題
假設這一局有k元
Case 1. 下一局, 甲贏一元機率為1/3 繼續贏光錢的機率為$$a_{k+1}$$
Case 2. 下一局, 甲輸一元機率為2/3 繼續贏光錢的機率為$$a_{k-1}$$
故遞迴關係應該為 $$a_{k}=\frac 1 3 a_{k+1}+\frac 23 a_{k-1}$$.

之前我跟weiye老師想法是一樣, 後來仔細想過遞迴式原始答案給的應該沒錯.

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越看越糊塗

引用:
原帖由 weiye 於 2008-4-13 01:16 AM 發表


"輪流丟",這三個字好像沒有用到? ...
___________________________________________________________________________________

我原本的想法 P(k)=2/3*P(k-1)  + 1/3*P(k+1) .....這兩年來做到這題時都是這樣想

但今天再次看到這個題目,突然感覺是 P(k)=1/3*P(k-1)  + 2/3*P(k+1)才對,
但我發現我的想法犯了瑋岳學長之前的錯誤,卻改不回來...
有人能解釋嗎?

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我想問的是

為什麼a_0=0,a_m+n=1

想好久了

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回復 8# peter0210 的帖子

甲手上 0 元,表示所有的錢都在乙手上,甲輸光了,甲的獲勝機率=0,

甲手上 m+n 元,表示所有的錢都在甲手上,乙輸光了,甲的獲勝機率=1。

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