引用:
原帖由 chu1976 於 2008-2-21 11:14 PM 發表 
若P為三角形ABC平面上一點(P點包括在三角形外部或在邊上)
設m,n,l為實數,若m*AP向量+n*BP向量+l*CP向量=0向量
則三角形BCP:三角形CAP:三角形ABP=m絕對值:n絕對值:l絕對值(m,n,l有可能為負)
(1)m,n,l均為正代表=>P點在三角形內部(此證明方式可延長倍數讓P成為新三角形重心)
(2)若m,n,l有一為負數=>P點在外部-----請問該如何證明呢???
要証 (2) ，可以利用 (1)，再加上下面的這個：
引理：設 a向量與 b向量為不平行的兩個非零向量，則
a向量與 b 向量所形成的三角形面積＝a向量與 (－b向量)所形成的三角形面積。
證明引理：
假設 a向量與 b 向量夾角為 θ，則
a向量與 b 向量所形成的三角形面積＝ ｜a向量｜*｜b向量｜* sin θ
＝｜a向量｜*｜(－b向量)｜* sin (π－θ)
＝a向量與 (－b向量) 所形成的面積。
如果 l, m, n 有兩負一正的情況，只要把等號兩側同時乘以 －1 ，就又會變成兩正一負的情況，
同理 l, m, n 皆為負數的情況，等同於 l, m, n 都是正數的情況。
所以不失一般性，（只需要考慮下列的情況，）假設 m 為負數，且 n, l 為正數，則
因為 m*AP向量＋n*BP向量＋l*CP向量＝0向量
所以 (－m) * (－ AP向量)＋n*BP向量＋l*CP向量＝0向量
故，
三角形BCP面積：三角形CAP面積：三角形ABP面積
＝ BP向量與CP向量所形成的三角形面積：CP向量與AP向量所形成的三角形面積：AP向量與BP向量所形成的三角形面積
＝ BP向量與CP向量所形成的三角形面積：CP向量與 (－AP向量)所形成的三角形面積：(－AP向量)與BP向量所形成的三角形面積
＝ (－m)：n：l
＝ ｜m｜：｜n｜：｜l｜
