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平面向量題,三向量靜力平衡與三角形面積關係

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平面向量題,三向量靜力平衡與三角形面積關係

若P為三角形ABC平面上一點(P點包括在三角形外部或在邊上)
設m,n,l為實數,若m*AP向量+n*BP向量+l*CP向量=0向量
則三角形BCP:三角形CAP:三角形ABP=m絕對值:n絕對值:l絕對值(m,n,l有可能為負)

(1)m,n,l均為正代表=> P點在三角形內部(此證明方式可延長倍數讓P成為新三角形重心)
(2)若m,n,l有一為負數=> P點在外部-----請問該如何證明呢???

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引用:
原帖由 chu1976 於 2008-2-21 11:14 PM 發表
若P為三角形ABC平面上一點(P點包括在三角形外部或在邊上)
設m,n,l為實數,若m*AP向量+n*BP向量+l*CP向量=0向量
則三角形BCP:三角形CAP:三角形ABP=m絕對值:n絕對值:l絕對值(m,n,l有可能為負)

(1)m,n,l均為正代表=>P點在三角形內部(此證明方式可延長倍數讓P成為新三角形重心)
(2)若m,n,l有一為負數=>P點在外部-----請問該如何證明呢???
要証 (2) ,可以利用 (1),再加上下面的這個:

引理:設 a向量與 b向量為不平行的兩個非零向量,則

   a向量與 b 向量所形成的三角形面積=a向量與 (-b向量)所形成的三角形面積。

證明引理:

  假設 a向量與 b 向量夾角為 θ,則

  a向量與 b 向量所形成的三角形面積= |a向量|*|b向量|* sin θ

                  =|a向量|*|(-b向量)|* sin (π-θ)

                  =a向量與 (-b向量) 所形成的面積。


如果 l, m, n 有兩負一正的情況,只要把等號兩側同時乘以 -1 ,就又會變成兩正一負的情況,

同理 l, m, n 皆為負數的情況,等同於 l, m, n 都是正數的情況。





所以不失一般性,(只需要考慮下列的情況,)假設 m 為負數,且 n, l  為正數,則

  因為 m*AP向量+n*BP向量+l*CP向量=0向量

  所以 (-m) * (- AP向量)+n*BP向量+l*CP向量=0向量

  故,

  三角形BCP面積:三角形CAP面積:三角形ABP面積

  = BP向量與CP向量所形成的三角形面積:CP向量與AP向量所形成的三角形面積:AP向量與BP向量所形成的三角形面積

  = BP向量與CP向量所形成的三角形面積:CP向量與 (-AP向量)所形成的三角形面積:(-AP向量)與BP向量所形成的三角形面積

  = (-m):n:l

  = |m|:|n|:|l|

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