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三角函數題,餘切的和角公式的證明

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三角函數題,餘切的和角公式的證明

請教一下
http://student.bshlmc.edu.hk/it-school/homepage/s04110501/DSC00070.JPG
第11題

答案怎樣才能保留根號= =?


證明
cot(a+b)=cotacotb-1
                -------------
                cota+cotb      <--份數

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利用和角公式

  sin(α+β) =sinαcosβ+cosαsinβ.................(※)

  cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.................(※※)
引用:
原帖由 popopoi12345 於 2008-2-6 05:13 PM 發表
http://student.bshlmc.edu.hk/it-school/homepage/s04110501/DSC00070.JPG
第11題

答案怎樣才能保留根號= =?
已知 cos y = 12/13 且 y 為銳角,所以利用 cos^2 (y)+sin^2 (y) = 1

先求出 sin y = 根號{1-cos^2 (y)} = 5/13

然後把(※※)中, α、β 分別用 y、45° 帶入,可得

  cos(y+45°) = cos y cos 45° - sin y sin 45°

        = 12/13 × 根號{2}/2 - 5/13 × 根號{2}/2

        = 7 × 根號{2} / 26
引用:

證明
cot(a+b)=cotacotb-1
                -------------
                cota+cotb      <--分數
把 餘切函數 換成 餘弦函數 除以 正弦函數,

  cot(α+β) = cos(α+β) / sin(α+β)

利用 (※) 及 (※※) 把上式的分子跟分母都代換掉,可以得到

  cot(α+β) = {cosαcosβ - sinαsinβ}/{sinαcosβ + cosαsinβ}

再把上式右邊的,分子跟分母都除以 sinαsinβ,可以得到

  cot(α+β) = {cosα/sinα × cosβ/sinβ - 1}/{cosβ/sinβ + cosα/sinα}

        = {cotα × cotβ - 1}/{cotβ + cotα}

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