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雙重遞迴數列,求一般項。

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雙重遞迴數列,求一般項。

引用:
x_1,x_2,x_3, ... , x_n, y_1, y_2, y_3, ... , y_n 不是 0 就是 1 ,
設 Σ x_i*y_i 為偶數(even)的方法數為 E, Σ x_i*y_i 為奇數(odd)的方法數為 O ,求 O/E 之值?
令 Σ x_i*y_i 為偶數的方法數為 a_n, Σ x_i*y_i 為奇數的方法數為 b_n

(∵ 0×0 = 0 是偶數, 0×1 = 0 是偶數, 1×0 = 0 是偶數, 1×1 = 1 是奇數 )

則 a_{n+1} = 3*a_n + 1*b_n 且 b_{n+1} = 1*a_n + 3*b_n

相減可得 a_{n+1} - b_{n+1} = 2( a_n - b_n )

故,<a_n - b_n> 成等比數列,公比為 2,首項 a_1 - b_1 = 2

相家可得 a_{n+1} + b_{n+1} = 4( a_n + b_n )

故,<a_n + b_n> 成等比數列,公比為 4,首項 a_1 + b_1 = 4

利用等比級數和公式,可求得 <a_n - b_n> 與 <a_n + b_n> 的一般項,

兩者相加除以2就是偶數(Even)的方法數 E,兩者相減除以2就是奇數(Odd)的方法數 O。

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