引用:

設數列 a_n = ( n^2 + 2n + 1 )^(1/3) + ( n^2 - 1 )^(1/3) + ( n^2 -2n +1 )^(1/3)，
則 1/a_1 + 1/a_3 + 1/a_5 + ... + 1/a_2001 = ?

如果 x=(n+1)^(1/3), y=(n-1)^(1/3) ，則 a_n=x^2 + x y + y^2

所以

1/a_n = 1/(x^2 + x y + y^2) = (x-y)/(x^3-y^3) = (x-y)/2 = {(n+1)的三次方根 - (n-1)的三次方根} / 2

故，所求 = {2的三次方根 - 0 的三次方根}/2 +  {4的三次方根 - 2的三次方根}/2 +  {6的三次方根 - 4的三次方根}/2 +‧‧‧‧‧‧

中間大多數都會對消掉，剩下兩項，也就是

{2002的三次方根  - 0 的三次方根}/2

補上出處
設數列an=3n2+2n+1+3n2−1+3n2−2n+1 ，則1a1+1a3+1a5++1a2001
(90高中數學能力競賽　宜花東區試題，h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2002_Taiwan_High_Ilan_02.pdf　連結已失效)

對每個nN，設an=3n2+2n+1+3n2−1+3n2−2n+1 ，則500n=11a2n−1 的值是？
(1991上海高中數學競賽)

設數列an=3n2+2n+1+3n2−1+3n2−2n+1 ，則1000n=11an= ？
(94蘭陽女中)

設對所有的正整數n，an=3n2+2n+1+3n2−1+3n2−2n+1 ，1a1+1a3+1a5++1a997+1a999=？
(A)1　(B)3　(C)5　(D)7
(95基隆市國中聯招)

g(n)=3n2+2n+1+3n2−1+3n2−2n+1 .
1g(1)+1g(3)++1g(999999)
https://artofproblemsolving.com/community/c6h333174

113.5.12補充
若n為正整數，且an=3(n+1)2+3n2−1+3(n−1)2 ，試求1a1+1a3+1a5++1a4095=　　　。
(113內湖高工，https://math.pro/db/thread-3866-1-1.html)