平面族....的介紹

之前寫過回給學生的訊息，關於『平面族』的大概介紹。

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平面族跟高一學的直線系，還有不久之後的圓系都是相同的概念，

假設有兩平面方程式 ax + by +cz + d =0 與 ex + fy+ gz + h =0 ，若此兩平面恰交於一直線，

則令 k(ax + by +cz + d) + m(ex + fy+ gz + h) = 0

只要選定 k, m 不同時為零，則 k(ax + by +cz + d) + m(ex + fy+ gz + h) = 0

就是表示通過 ax + by +cz + d =0 與 ex + fy+ gz + h =0 共同交線的平面方程式。

因為 k(ax + by +cz + d) + m(ex + fy+ gz + h) = 0 可以化簡為 (...)x + (...)y + (...)z = 0

所以為平面方程式，而且如果有 (x0, y0, z0) 在兩平面共同交線上，則必滿足

a x0 + b y0 +c z0 + d =0 與 e x0 + f y0+ g z0 + h =0

故表示 k(a x0 + b y0 +c z0 + d) + m(e x0 + f y0+ g z0 + h) = 0 ，也就是 (x0, y0, z0) 也在新平面上，
所以新平面必通過原始兩平面的共同交線。

因為 k, m 不同時為零(不然就變成 0=0 恆等式了，囧)，所以至少 k, m 有一不為零，

可以將等式兩邊同時除掉不為零的 k 或 l，得到

(ax + by +cz + d) + m/k * (ex + fy+ gz + h) = 0

或是 k/m * (ax + by +cz + d) + (ex + fy+ gz + h) = 0

令 m/k 或是 k/m 為新變數 t ，可改寫為

(ax + by +cz + d) + t (ex + fy+ gz + h) = 0

或是 t (ax + by +cz + d) + (ex + fy+ gz + h) = 0