第一大題：填充題
1.
設\(a\)為實數，若方程式\(|x^2-4x-1|=a\)恰有三個相異實數解，則\(a=\)
。
2.
設\(f(x)\)為實係數三次多項式且其最高次項係數為1，已知\(f(1)=1\)，\(f(2)=2\)，\(f(5)=5\)，則\(f(6)=\)
。
3.
對任意實數\(x\)，若\(\log_{a^2-1}(x^2-2x+a)\)恆有意義，則實數\(a\)的範圍為
。
4.
\(0\le x\le\displaystyle\frac{\pi}{2}\)，函數\(f(x)=\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos^2x\)，求\(f(x)\)的最小值＝
。
5.
右圖是兩個邊長為2的正六邊形裝置藝術，共用一個邊連接而成一個平面，若\(A\)、\(B\)、\(C\)為其中三個頂點，求圖中兩向量內積\(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\)
。
6.
設平面\(E\)通過\(P(2,3,1)\)且與\(x\)軸、\(y\)軸、\(z\)軸的正向交於\(A\)、\(B\)、\(C\)三點，又\(O\)為原點，當\(2\overline{OA}+3\overline{OB}+4\overline{OC}\)有最小值時，平面\(E\)的方程式為
。
7.
工廠庫存鋼條總長20公尺，現將其裁切並焊接成一個底面為正方形的長方體骨架。在不考慮材料損耗下，此長方體的最大體積為
立方公尺。
8.
一年一度的臺北國際車展盛大展開。今年共有\(T\)、\(B\)、\(P\)三家車廠參展，每家車廠各推出兩款新車，如下表。本題將電動車、燃油車及油電混合車視為三種不同類型。
| 車子廠商 | \(T\)牌 | \(B\)牌 | \(P\)牌 |
| 新款車型 | \(T1\) | \(T2\) | \(B1\) | \(B2\) | \(P1\) | \(P2\) |
| 類型 | 電動車 | 燃油車 | 油電混合車 | 電動車 | 燃油車 | 燃油車 |
六款車型分別展示於\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)、\(F\)六個展示攤位，每個攤位僅展示一款車。為配合政府推廣淨零運輸政策，\(A\)攤位不得展示燃油車；\(F\)攤位不得展示電動車。則符合上述條件的排列方式共有
種。
9.
臺灣地震頻繁，某保險公司規劃推出「住宅地震損失保險」。根據過去資料，一棟房屋於地震發生時的損壞程度及其機率如下表。
損壞情形 | 全損 | 半損 | 四分之一 |
機率 | \(\displaystyle\frac{1}{1000}\) | \(\displaystyle\frac{5}{1000}\) | \(\displaystyle\frac{10}{1000}\) |
保險理賠規則如下：全損：賠償投保房價的\(80\%\)；半損：賠償投保房價的\(40\%\)；四分之一損：賠償投保房價的\(20\%\)；其餘小損傷：不予理賠。若房屋投保金額為1000萬元，且保險公司希望每張保單的期望獲利為2萬元，則應收取的保費為
元。
10.
有4筆二維數據如下表，若\(y\)對\(x\)的迴歸直線方程式為\(y=x+3\)，則數對\((m,n)=\)
。
\(x\) | \(1\) | \(2\) | \(2\) | \(3\) |
\(y\) | \(3\) | \(3\) | \(m\) | \(n\) |
11.
設\(n\)為正整數。第\(n\)個費馬數(Fermat Number)定義為\(F_n=2^{(2^n)}+1\)，例如\(F_1=2^{(2^1)}+1=2^2+1=5\)，\(F_2=2^{(2^2)}+1=2^4+1=17\)。試問\(\displaystyle\frac{F_{12}}{F_{11}}\)的整數部分以十進位表示時，其整數位數是
位數。
12.
兩函數\(f(x)=x\)，\(g(x)=\displaystyle\frac{1}{4}x^3\)的圖形所成的封閉區域面積為
。
13.
若\(A\)、\(B\)、\(C\)為一個三角形三頂點，試求\(\displaystyle\left(\sin\displaystyle\frac{A}{2}+i\cos\frac{A}{2}\right)\!\left(\sin\frac{B}{2}+i\cos\frac{B}{2}\right)\!\left(\cos\frac{C}{2}-i\sin\frac{C}{2}\right)=\)
。
14.
給定實數\(a,b\)，設函數\(f(x)=\begin{cases}x^2+x,&x\ge2\\ax+b\left[x^2\right],&x<2\end{cases}\)，其中\(\left[x^2\right]\)表示不大於\(x^2\)的最大整數。若\(f(x)\)在\(x=2\)可微分，則數對\((a,b)=\)
。
15.
在坐標平面上，已知\(P\)點在\(x\)軸上方，直線\(PA\)、\(PB\)、\(PC\)分別與\(x\)軸交於\(A\)、\(B\)、\(C\)三點，且直線\(PA\)的斜率為\(\displaystyle\frac{12}{5}\)，\(PC\)的斜率為\(\displaystyle\frac{3}{4}\)，若直線\(PB\)為\(\angle APC\)的角平分線，則直線\(PB\)的斜率為
。
第二大題：計算證明題
1.
已知平面上直角三角形三邊長\(\overline{AB}=30\)，\(\overline{AC}=18\)，\(\overline{BC}=24\)。若分別以\(\overline{AB}\)與\(\overline{AC}\)為底邊在\(\triangle ABC\)外部作頂角等於\(2\theta\)的等腰三角形\(\triangle MAB\)與\(\triangle NAC\)，其中\(\cos2\theta=-\displaystyle\frac{1}{8}\)，試求：
(1)線段\(\overline{AM}\)長＝
。
(2)\(\triangle AMN\)的面積。
2.
對於\(k>0\)，令\(I_k=10\cdots064\)，其中在1與6之間有\(k\)個0，並以\(N(k)\)表\(I_k\)質因數分解中因數2的個數。試問\(N(k)\)的最大值是多少？
第三大題：教學情境應用題
請依各題情境，運用數學知識或教學專業完成作答，並適當說明理由或論證過程。
1.
某電視政論節目中，一位來賓表示：「某型防空飛彈每發攔截成功率約為\(70\%\)，因此若同時發射3發飛彈，攔截成功率可達\(210\%\)，一定能成功攔截目標。」請回答下列問題：
(1)若您是高中數學教師，會如何引導學生辨識上述說法中的數學問題？並說明此教學活動可培養學生哪些媒體識讀能力。
(2)請指出題目中尚缺少哪些必要資訊，並在合理假設下，計算一次發射三發飛彈時，目標被成功攔截的機率。
2.
正四面體、正八面體及正二十面體皆可由正三角形組成。為協助學生建立空間概念，教師設計以A4廢紙摺製正多面體的活動。請以橫放的\(A4\)矩形紙張為例，說明如何利用頂點\(A\)與對摺線，使摺痕線段\(\overline{CD}\)產生的三角形\(\triangle ACD\)為\(30^\circ\text{-}60^\circ\text{-}90^\circ\)的三角形，並完成幾何論證。
3.
自然對數\(e=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=2.7182818284\cdots\)
教師利用科學計算機探討自然對數\(e\)的近似值時發現當\(n=10^{15}\)時，計算結果與\(e\)近似值明顯不符。請利用二項式定理分析此現象。
(1)當\(n\)為正整數時，請將\(\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n\)展開成下列形式：\(\displaystyle1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots\)並寫出其一般項與最後一項。
(2)利用(1)的結果，證明當\(n\)為正整數時，數列\(\langle\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n\rangle\)的每一項皆小於3。
